Question

4．（1）【學(xué)習(xí)心得】
小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問題變得非常容易．
例如：如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一點(diǎn)，且AD=AC，求∠BDC的度數(shù)，若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助圓⊙A，則點(diǎn)C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC=45°．
（2）【問題解決】
如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的數(shù)．
小剛同學(xué)認(rèn)為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：△ABD的外接圓就是以BD的中點(diǎn)為圓心，$\frac{1}{2}$BD長(zhǎng)為半徑的圓；△ACD的外接圓也是以BD的中點(diǎn)為圓心，$\frac{1}{2}$BD長(zhǎng)為半徑的圓．這樣A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，進(jìn)而可以利用圓周角的性質(zhì)求出∠BAC的度數(shù)，請(qǐng)運(yùn)用小剛的思路解決這個(gè)問題．
（3）【問題拓展】
如圖3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC邊上的高，且BD=6，CD=2，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用同弦所對(duì)的圓周角是所對(duì)圓心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圓，得出∠BDC=∠BAC，
（3）如圖3，作△ABC的外接圓，過圓心O作OE⊥BC于點(diǎn)E，作OF⊥AD于點(diǎn)F，連接OA、OB、OC．利用圓周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，結(jié)合該三角形的性質(zhì)求得DE=OF=2；在等腰Rt△BOE中，利用勾股定理得到OE=DF=4；則在Rt△AOF中，易得AF=2$\sqrt{7}$，故AD=2$\sqrt{7}$+4．

解答 解：（1）如圖1，∵AB=AC，AD=AC，
∴以點(diǎn)A為圓心，點(diǎn)B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，
故答案是：45；

（2）如圖2，取BD的中點(diǎn)O，連接AO、CO．
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴點(diǎn)A、B、C、D共圓，
∴∠BDC=∠BAC，
∵∠BDC=25°，
∴∠BAC=25°，

（3）如圖3，作△ABC的外接圓，過圓心O作OE⊥BC于點(diǎn)E，作OF⊥AD于點(diǎn)F，連接OA、OB、OC．
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°．
在Rt△BOC中，BC=6+2=8，
∴BO=CO=4$\sqrt{2}$．
∵OE⊥BC，O為圓心，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴DE=OF=2．
在Rt△BOE中，BO=4$\sqrt{2}$，BE=4，
∴OE=DF=4．
在Rt△AOF中，AO=4$\sqrt{2}$，OF=2，
∴AF=2$\sqrt{7}$，
∴AD=2$\sqrt{7}$+4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓的綜合題，需要掌握垂徑定理、圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，難度偏大，解題時(shí)，注意輔助線的作法．