Question

【題目】如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝ 90°，AB＝AC，四邊形ADEF是正方形，點B、C分別在邊AD、AF上，此時BD＝CF，BD⊥CF成立.

（1）當(dāng)△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)（0°＜＜90°）時，如圖2，BD＝CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

（2）當(dāng)△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時，如圖3，延長DB交CF于點H.

①求證： BD⊥CF. ② 當(dāng)AB＝2，AD＝3，時，求線段BD的長.

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、①、證明過程見解析；②、

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)得出AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝θ，AF＝AD，從而得出三角形全等；(2)、①、根據(jù)全等得出∠HFN＝∠ADN，結(jié)合已知得出∠HFN+∠HNF＝90°，從而得出結(jié)論；②、連接DF，延長AB，與DF交于點M，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AM=DM，然后根據(jù)Rt△MAD的勾股定理得出答案.

試題解析：(l)、BD＝CF成立．

由旋轉(zhuǎn)得:AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝θ;AF＝AD, ∴△ABD≌△ACF, ∴BD＝CF.

(2) ①、由(1)得，△ABD≌△ACF， ∴∠HFN＝∠ADN， ∵∠HNF＝∠AND,∠AND+∠AND=90°

∴∠HFN+∠HNF＝90° ∴∠NHF＝90°, ∴HD⊥HF,即BD⊥CF.

②、如圖，連接DF，延長AB，與DF交于點M. ∵四邊形ADEF是正方形 ∴∠MDA＝45°∵∠MAD＝45°

∴∠MAD＝∠MDA,∠AMD＝90°，∴AM=DM ∵AD=3 在△MAD中， ∴AM＝DM＝3

.∴MB＝AM-AB=3－2＝1 在△BMD中，

∴