Question

17．紅安卷煙廠(chǎng)生產(chǎn)的“龍鄉(xiāng)”牌香煙盒里，裝滿(mǎn)大小均勻的20支香煙，打開(kāi)煙盒的頂蓋后，二十支香煙排列成三行，經(jīng)測(cè)量，一支香煙的直徑約為0.75cm，長(zhǎng)約為8.4cm．
（1）試計(jì)算煙盒頂蓋ABCD的面積（本小題計(jì)算結(jié)果不取近似值）．
（2）制作這樣一個(gè)煙盒至少需要多少面積的紙張（不計(jì)重疊粘合的部分，計(jì)算結(jié)果精確到0.1cm，$\sqrt{3}$取1.73）．

Answer 1

分析 （1）求煙盒頂蓋ABCD的面積，即求AB與AD的積；如圖，可以作O₁E⊥O₂O₃，求出O₁E的長(zhǎng)，而由圖發(fā)現(xiàn)AB=2×O₁E+一支香煙的直徑，AD=7×一支香煙的直徑，從而解決問(wèn)題；
（2）煙盒至少需要多少面積的紙張，通過(guò)長(zhǎng)方體的表面積公式可得．

解答 解：（1）如圖，作O₁E⊥O₂O₃；
∵O₁O₂=O₂O₃=O₃O₁=0.75=$\frac{3}{4}$，∠O₁O₂O₃=60°，
∴O₁E=O₁O₂•sin60°=$\frac{3}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
∴AB=2×$\frac{3\sqrt{3}}{8}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}+3}{4}$（cm），
AD=7×$\frac{3}{4}$（cm），
∴四邊形ABCD的面積是：$\frac{21}{4}$×$\frac{3\sqrt{3}+3}{4}$=$\frac{63\sqrt{3}+63}{16}$（cm）²，


（2）制作一個(gè)煙盒至少需要紙張：2（$\frac{63\sqrt{3}+63}{16}$+$\frac{3\sqrt{3}+3}{4}$×8.4+$\frac{21}{4}$×8.4）=144.096≈144.1（cm）²，
答：制作一個(gè)煙盒至少需要的紙張是144.1（cm）²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用以及多個(gè)圓的位置關(guān)系中的面積問(wèn)題，關(guān)鍵是將圖形細(xì)化為三個(gè)圓，求出AB的長(zhǎng)．