【題目】如圖,在正方形ABCD中,點E,F(xiàn)分別是邊AD,BC的中點,連接DF,過點E作EH⊥DF,垂足為H,EH的延長線交DC于點G.
(1)猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)過點H作MN∥CD,分別交AD,BC于點M,N,若正方形ABCD的邊長為10,點P是MN上一點,求△PDC周長的最小值.
【答案】(1)結(jié)論:CF=2DG,理由見解析;(2)△PCD的周長的最小值為10+2.
【解析】
(1)結(jié)論:CF=2DG.只要證明△DEG∽△CDF即可;
(2)作點C關(guān)于NM的對稱點K,連接DK交MN于點P,連接PC,此時△PDC的周長最短.周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.
(1)結(jié)論:CF=2DG.
理由:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=BC=CD=AB,∠ADC=∠C=90°,
∵DE=AE,
∴AD=CD=2DE,
∵EG⊥DF,
∴∠DHG=90°,
∴∠CDF+∠DGE=90°,∠DGE+∠DEG=90°,
∴∠CDF=∠DEG,
∴△DEG∽△CDF,
∴==,
∴CF=2DG.
(2)作點C關(guān)于NM的對稱點K,連接DK交MN于點P,連接PC,
此時△PDC的周長最短.周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.
由題意:CD=AD=10,ED=AE=5,DG=,EG=,DH==,
∴EH=2DH=2,
∴HM==2,
∴DM=CN=NK==1,
在Rt△DCK中,DK===2,
∴△PCD的周長的最小值為10+2.
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【題目】如圖1,△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE.
(1)求證:BD=CE;
(2)若點M,N分別是BD,CE的中點,如圖2,連接AM,AN,MN,若AC=6,AE=4,∠EAC=60°,求AN的長.
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【題目】如圖,△ABC在直角坐標(biāo)系中,
(1)把△ABC向上平移3個單位,再向右平移2個單位得△A′B′C′,在圖中畫出兩次平移后得到的圖形△A′B′C′,并寫出A′、B′、C′的坐標(biāo).
(2)如果△ABC內(nèi)部有一點Q,根據(jù)(1)中所述平移方式得到對應(yīng)點Q′,如果點Q′坐標(biāo)是(m,n),那么點Q的坐標(biāo)是_______.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸相交于點A(﹣1,0)和點B,與y軸交于點C,對稱軸為直線x=1.
(1)求點C的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示);
(2)聯(lián)結(jié)AC、BC,若△ABC的面積為6,求此拋物線的表達(dá)式;
(3)在第(2)小題的條件下,點Q為x軸正半軸上一點,點G與點C,點F與點A關(guān)于點Q成中心對稱,當(dāng)△CGF為直角三角形時,求點Q的坐標(biāo).
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【題目】“綠水青山就是金山銀山”,為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,A,B兩村準(zhǔn)備各自清理所屬區(qū)域養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱,每村參加清理人數(shù)及總開支如下表:
村莊 | 清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱人數(shù)/人 | 清理捕魚網(wǎng)箱人數(shù)/人 | 總支出/元 |
A | 15 | 9 | 57000 |
B | 10 | 16 | 68000 |
(1)若兩村清理同類漁具的人均支出費用一樣,求清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱的人均支出費用各是多少元;
(2)在人均支出費用不變的情況下,為節(jié)約開支,兩村準(zhǔn)備抽調(diào)40人共同清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱,要使總支出不超過102000元,且清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱人數(shù)小于清理捕魚網(wǎng)箱人數(shù),則有哪幾種分配清理人員方案?
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【題目】用若干個形狀、大小完全相同的矩形紙片圍成正方形,4個矩形紙片圍成如圖①所示的正方形,其陰影部分的面積為12;8個矩形紙片圍成如圖②所示的正方形,其陰影部分的面積為8;12個矩形紙片圍成如圖③所示的正方形,其陰影部分的面積為__.
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【題目】閱讀下面材料:
在學(xué)習(xí)《圓》這一章時,老師給同學(xué)們布置了一道尺規(guī)作圖題:
尺規(guī)作圖:過圓外一點作圓的切線.
已知:P為⊙O外一點.
求作:經(jīng)過點P的⊙O的切線.
小敏的作法如下:如圖,
(1)連接OP,作線段OP的垂直平分線MN交OP于點C.
(2)以點C為圓心,CO的長為半徑作圓,交⊙O于A,B兩點.
(3)作直線PA,PB.
老師認(rèn)為小敏的作法正確.
請回答:連接OA,OB后,可證∠OAP=∠OBP=90°,其依據(jù)是 ;由此可證明直線PA,PB都是⊙O的切線,其依據(jù)是 .請寫出證明過程.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=2,點M為正方形ABCD的邊CD上的動點(與點C,D不重合),連接BM,作MF⊥BM,與正方形ABCD的外角∠ADE的平分線交于點F.設(shè)CM=x,△DFM的面積為y,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為________________.
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【題目】若一個整數(shù)能表示成(a、b是正整數(shù))的形式,則稱這個數(shù)為“吉祥數(shù)”.例如,2是“吉祥數(shù)”,因為2=所以2是“吉祥數(shù)”,再如,因為M=x+2xy+2y=(x+y)+y(x+y,y是正整數(shù)),所以M也是“吉祥數(shù)”.
(1)請你寫一個最小的三位“吉祥數(shù)”是_____,并判斷40______“吉祥數(shù)”.(填是或不是);
(2)已知S=x+y+2x6y+k(x、y是正整數(shù),k是常數(shù)),要使S為“吉祥數(shù)”,試求出符合條件的一個k值,并說明理由.
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