Question

【題目】（感知）如圖①在等邊△ABC和等邊△ADE中，連接BD，CE，易證：△ABD≌△ACE；

（探究）如圖②△ABC與△ADE中，∠BAC=∠DAE，∠ABC=∠ADE，求證：△ABD∽△ACE；

（應(yīng)用）如圖③，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），AB=BO，∠ABO=120°，點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)，在坐標(biāo)平面內(nèi)作點(diǎn)D，使AD=CD，∠ADC=120°，連結(jié)OD，則OD的最小值為 ．

Answer 1

【答案】探究：見(jiàn)解析；應(yīng)用：.

【解析】

探究：由△DAE∽△BAC，推出，可得，由此即可解決問(wèn)題；

應(yīng)用：當(dāng)點(diǎn)D在AC的下方時(shí)，先判定△ABO∽△ADC，得出，再根據(jù)∠BAD＝∠OAC，得出△ACO∽△ADB，進(jìn)而得到∠ABD＝∠AOC＝90°，得到當(dāng)OD⊥BE時(shí)，OD最小，最后過(guò)O作OF⊥BD于F，根據(jù)∠OBF＝30°，求得OF＝OB＝，即OD最小值為；當(dāng)點(diǎn)D在AC的上方時(shí)，作B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，則同理可得OD最小值為．

解：探究：如圖②中，

∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE，

∴△DAE∽△BAC，∠DAB＝∠EAC，

∴，

∴，

∴△ABD∽△ACE；

應(yīng)用：①當(dāng)點(diǎn)D在AC的下方時(shí)，如圖③1中，

作直線BD，由∠DAC＝∠DCA＝∠BAO＝∠BOA＝30°，可得△ABO∽△ADC，

∴，即，

又∵∠BAD＝∠OAC，

∴△ACO∽△ADB，

∴∠ABD＝∠AOC＝90°，

∵當(dāng)OD⊥BE時(shí)，OD最小，

過(guò)O作OF⊥BD于F，則△BOF為直角三角形，

∵A點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，6），AB＝BO，∠ABO＝120°，

∴易得OB＝2，

∵∠ABO＝120°，∠ABD＝90°，

∴∠OBF＝30°，

∴OF＝OB＝，

即OD最小值為；

當(dāng)點(diǎn)D在AC的上方時(shí)，如圖③2中，

作B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，作直線DB'，則同理可得：△ACO∽△ADB'，

∴∠AB'D＝∠AOC＝90°，

∴當(dāng)OD⊥B'E時(shí)，OD最小，

過(guò)O作OF'⊥B'D于F'，則△B'OF'為直角三角形，

∵A點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，6），AB'＝B'O，∠AB'O＝120°，

∴易得OB'＝2，

∵∠AB'O＝120°，∠AB'D＝90°，

∴∠OB'F'＝30°，

∴OF'＝OB'＝，

即OD最小值為．

故答案為：．