Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，連接．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點在拋物線的對稱軸上，當的周長最小時，點的坐標為_____________；

(3)點是第四象限內拋物線上的動點，連接和．求面積的最大值及此時點的坐標；

(4)若點是對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）面積最大為，點坐標為；（4）存在點，使以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，,點坐標為，，．

【解析】

（1）將點，代入即可求解；
（2）BC與對稱軸的交點即為符合條件的點，據此可解；
（3）過點作軸于點，交直線與點，當EF最大時面積的取得最大值，據此可解；
（4）根據平行四邊形對邊平行且相等的性質可以得到存在點N使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形.分三種情況討論.

解：(1) 拋物線過點，

解得：

拋物線解析式為．

(2) 點，

∴拋物線對稱軸為直線

點在直線上，點，關于直線對稱

，

當點、、在同一直線上時，最�。�

拋物線解析式為，

∴C（0，-6），

設直線解析式為

，

解得：

直線：

，

，

故答案為：．

(3)過點作軸于點，交直線與點，

設，則

，

當時，面積最大為

，

此時點坐標為．

(4)存在點，使以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形．
設N（x，y），M（，m），
①四邊形CMNB是平行四邊形時，CM∥NB，CB∥MN，
，
∴x= ，

∴y= = ，
∴N（，）；
②四邊形CNBM是平行四邊形時，CN∥BM，CM∥BN，
，
∴x=，

∴y==
∴N（，）；
③四邊形CNMB是平行四邊形時，CB∥MN，NC∥BM，

，
∴x=，

∴y==
∴N（，）；

點坐標為（，），（，），（，）．