Question

．如圖1，直線y=2x與反比例函數(shù)y=的圖象交于點(diǎn)A（3，n），點(diǎn)B是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）則m=18，OA=3；

（2）將三角板的直角頂點(diǎn)放置在點(diǎn)B處，三角板的兩條直角邊分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)，求的值；

（3）如圖2，B是線段OA的中點(diǎn)，E在反比例函數(shù)的圖象上，試探究：在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得∠EAB=∠EBF=∠AOF？如果存在，試求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．

【專題】綜合題．

【分析】（1）先把A（3，n）代入y=2x求出n，從而得到A（3，6），再利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出OA=3，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征易得m=18；

（2）過B分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為M、N，如圖1，設(shè)B（a，2a），則BM=2a，BN=a，利用等角的余角相等得到∠MBC=∠DBN，于是可判斷Rt△MBC∽R(shí)t△DBN，然后利用相似比易得=2；

（3）作AH⊥y軸于H，延長(zhǎng)AE交x軸于G點(diǎn)，連結(jié)GB，如圖2，由∠EAB=∠AOF得到△GAO為等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得GB⊥OA，接著證明Rt△OBG∽R(shí)t△AHO，利用相似比計(jì)算出OG=，得到G（，0），然后利用待定系數(shù)法求出直線AG的解析式為y=﹣x+10，則通過解方程組得E點(diǎn)坐標(biāo)為（，4），于是可利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出AE=，最后證明△ABE∽△OFB，利用相似比計(jì)算出OF，從而得到F點(diǎn)的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）把A（3，n）代入y=2x得n=2×3=6，則A（3，6），

所以O(shè)A==3，

而點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=圖象上，

所以m=3×6=18；

故答案為18，3；

（2）過B分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為M、N，如圖1，設(shè)B（a，2a），則BM=2a，BN=a，

∵∠MBC+∠MBD=90°，∠DBN+∠MBD=90°，

∴∠MBC=∠DBN，

∴Rt△MBC∽R(shí)t△DBN，

∴===2；

（3）存在．

作AH⊥y軸于H，延長(zhǎng)AE交x軸于G點(diǎn)，連結(jié)GB，如圖2，

∵∠EAB=∠AOF，

∴△GAO為等腰三角形，

∵B是線段OA的中點(diǎn)，

∴GB⊥OA，

∵AH∥x軸，

∴∠OAH=∠GOB，

∴Rt△OBG∽R(shí)t△AHO，

∴=，即=，解得OG=

∴G（，0），

設(shè)直線AG的解析式為y=kx+b，

把A（3，6），G（，0）代入得，

解得．

∴直線AG的解析式為y=﹣x+10，

解方程組得或，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（，4），

∴AE==，

∵∠EBO=∠EAB+∠2，即∠1+∠EBF=∠EAB+∠2，

而∠EAB=∠EBF，

∴∠1=∠2，

∵∠EAB=∠BOF，

∴△ABE∽△OFB，

∴=，即=，

∴OF=，

∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，能運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長(zhǎng)；會(huì)利用相似三角形的判定與性質(zhì)計(jì)算線段的長(zhǎng)度．