Question

8．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=30，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CA向點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，連接PQ，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t≥0）．
（1）當(dāng)t=5秒時(shí)，三角形△PCQ的面積最大．
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，線段PQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路程長(zhǎng)為5$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得到CP=BC-BP=30-3t，CQ=t，根據(jù)三角形的面積公式得到S_△PCQ=$\frac{1}{2}$PC•CQ=$\frac{1}{2}×（30-3t）$•t=-$\frac{3}{2}$t²+15t，根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到結(jié)論；
（2）線段PQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路程為一個(gè)三角形的中位線長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵CP=BC-BP=30-3t，CQ=t，
∵∠C=90°，
∴S_△PCQ=$\frac{1}{2}$PC•CQ=$\frac{1}{2}×（30-3t）$•t=-$\frac{3}{2}$t²+15t，
當(dāng)t=-$\frac{15}{-2×\frac{3}{2}}$=5時(shí)，三角形△PCQ的面積最大；

（2）線段PQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路程是線段MN的長(zhǎng)，如圖所示：
當(dāng)P在B處，Q在C處時(shí)，PQ的中點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)10秒時(shí)，P、Q停止運(yùn)動(dòng)，
PQ的中點(diǎn)為N，P到達(dá)D，Q到達(dá)A，
過點(diǎn)A作AE∥MN交BC于點(diǎn)E，
此時(shí)CD=30-3×10=0，
∴MD=15-0=15，
∵N是AD的中點(diǎn)，
∴M是DE的中點(diǎn)，
∴EM=DM=15，MN=$\frac{1}{2}$AE，
∴CE=0+15+15=30，
∴AE=$\sqrt{3{0}^{2}+1{0}^{2}}$=10$\sqrt{10}$，
∴MN=5$\sqrt{10}$；
 即線段PQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路程長(zhǎng)為$5\sqrt{10}$．
故答案為：5，5$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，三角形面積的計(jì)算，三角形中位線的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．