Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，BM=CN=5，CM，DN交于點(diǎn)O．則下列結(jié)論：
①DN⊥MC；②DN垂直平分MC；③sin∠OCD= ；④S△ODC=S四邊形BMON中，
正確的有（填寫(xiě)序號(hào)）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，
在△BMC和△CND中，
，
∴△BMC≌△CND，
∴∠MCB=∠NDC．
又∠MCN+∠MCD=90°，
∴∠MCD+∠NDC=90°，
∴∠DOC=90°，
∴DN⊥MC，故①正確；
在Rt△CDN中，∵CD=12，CN=5，
∴DN= =13．
又∵∠BCD=90°，∠COD=90°
∴ NCCD= NDOC，
∴OC= ，OM=13﹣ = ，
∴OC≠OM，故②錯(cuò)誤；
∵∠DNC+∠NDC=90°，∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠DNC，
∴sin∠OCD=sin∠DNC= = ，故③正確；
∵△BMC≌△CND，
∴S△BMC=S△CND
S△BMC﹣S△CNC=S△CND﹣S△CNC ， 即S四邊形BMON=S△ODC ， 故④正確．
綜上，正確的結(jié)論是①③④．
所以答案是①③④．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．