Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，ctgA=．
（1）當(dāng)∠PBC=∠A時(shí)，求AP的長．
（2）點(diǎn)O是BP上一點(diǎn)，且⊙O與邊AB、AC都相切，設(shè)AP=x，⊙O的半徑為y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域．
（3）在（2）中，⊙O與邊BC也相切時(shí)，試判斷sinA與的大小，并說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由勾股定理、余切三角函數(shù)的定義求得線段AC的長度，通過相似三角形△PBC∽△BAC是對應(yīng)邊成比例求得PC的長度；然后根據(jù)圖形中線段間的和差關(guān)系來求AP的長度；
（2）設(shè)⊙O和AC，AB分別相切于點(diǎn)D、E，連接OD、OE．根據(jù)切線長定理和勾股定理求y與x的函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)三角形內(nèi)切圓的定義判定BP是∠CBA的平分線；然后由角平分線性質(zhì)定理、勾股定理以及平行線截線段成比例分別求得AP、OP的值．
解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，ctgA=，
∴=．
又∵AB=10，AB²=AC²+BC²，
∴AC=8，BC=6．
∵∠PBC=∠A，∠PCB=∠BCA=90°，
∴△PBC∽△BAC，
∴=，即=，
∴PC=，
∴AP=AC-PC=；

（2）如圖1，設(shè)⊙O和AC、AB分別相切于點(diǎn)D、E，連接OD、OE．連接AO并延長AO交BC于點(diǎn)H．則AH是∠BAC的平分線．
根據(jù)角平分線定理知，=，即=，
∴CH=．
∵AC切⊙O于點(diǎn)D，
∴OD⊥AC；
又∵BC⊥AC，
∴OD∥BC．
在△PBC中，=，即=，則PD=．
在△ACH中，=，即==，則y=（0＜x＜8）；

（3）解：sinA＞．理由如下：
如圖2，∵⊙O與邊AB、AC、BC都相切，
∴BP是∠CBA的平分線，
∴=，即=，則AP=5，CP=3．
∴在直角△BCP中，根據(jù)勾股定理知BP=3．
∵AP=x，⊙O的半徑為y，y=，
∴OD==2．
∵OD⊥AC，BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴=，即=，則OP=，
∴sinA===，=，
∴sinA＞．
點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題．其中涉及到的知識點(diǎn)有相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、勾股定理以及二次函數(shù)的定義域．