Question

已知，如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊上的中線，DE⊥AB交BC于點F，交AC的延長線于點E．
（1）△ADE∽△FDB嗎？為什么？
（2）你能推出結(jié)論CD²=DE•DF嗎？請試一試．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，得∠A+∠B=90°，∠A+∠E=90°，則∠E=∠B，易證△ADE∽△FDB；
（2）由Rt△ABC中，CD是斜邊上的中線，得CD=DB，則∠DCB=∠DBC，又∠E=∠B，所以∠BCD=∠E，又∠CDF是公共角，所以△CFD∽△ECD，即可得出；

解答：證明：（1）∵DE⊥AB，BC⊥AE，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠E=90°，
∴∠E=∠B，
∴△ADE∽△FDB（AA）；

（2）∵CD為Rt△ABC的中線，
∴CD=DB=AD，
∴∠DCB=∠DBC，
又∠E=∠B，
∴∠BCD=∠E，
又∠CDF是公共角，
∴△CFD∽△ECD，
∴

CD

DE

=

DF

CD

，即CD²=DE•DF．

點評：本題主要考查了直角三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解答本題的關(guān)鍵．