Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2﹣x+2（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A（﹣4，0）．

（1）求拋物線與直線AC的函數(shù)解析式；

（2）若點(diǎn)D（m，n）是拋物線在第二象限的部分上的一動(dòng)點(diǎn)，四邊形OCDA的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系；

（3）若點(diǎn)E為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F為x軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1） （2）S=﹣m2﹣4m+4（﹣4＜m＜0）（3）（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）

【解析】

試題分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，就可求得拋物線的解析式，根據(jù)A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得直線AC的函數(shù)解析式；

（2）先過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，運(yùn)用割補(bǔ)法即可得到：四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+四邊形OCDH的面積，據(jù)此列式計(jì)算化簡(jiǎn)就可求得S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系；

（3）由于AC確定，可分AC是平行四邊形的邊和對(duì)角線兩種情況討論，得到點(diǎn)E與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入拋物線的解析式，就可得到滿足條件的所有點(diǎn)E的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵A（﹣4，0）在二次函數(shù)y=ax2﹣x+2（a≠0）的圖象上，

∴0=16a+6+2，

解得a=﹣，

∴拋物線的函數(shù)解析式為y=﹣x2﹣x+2；

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則

，

解得 ，

∴直線AC的函數(shù)解析式為：；

（2）∵點(diǎn)D（m，n）是拋物線在第二象限的部分上的一動(dòng)點(diǎn)，

∴D（m，﹣m2﹣m+2），

過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，則DH=﹣m2﹣m+2，AH=m+4，HO=﹣m，

∵四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+四邊形OCDH的面積，

∴S=（m+4）×（﹣m2﹣m+2）+（﹣m2﹣m+2+2）×（﹣m），

化簡(jiǎn)，得S=﹣m2﹣4m+4（﹣4＜m＜0）；

（3）①若AC為平行四邊形的一邊，則C、E到AF的距離相等，

∴|yE|=|yC|=2，

∴yE=±2．

當(dāng)yE=2時(shí)，解方程﹣x2﹣x+2=2得，

x1=0，x2=﹣3，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣3，2）；

當(dāng)yE=﹣2時(shí)，解方程﹣x2﹣x+2=﹣2得，

x1=，x2=，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，﹣2）或（，﹣2）；

②若AC為平行四邊形的一條對(duì)角線，則CE∥AF，

∴yE=yC=2，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣3，2）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）．