Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點(diǎn)D、P分別是AC、BC的中點(diǎn)，△ADE是等腰三角形，∠AED=90°，連接BE、EC．
（1）判斷線段BE和EC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）連接PA、PE．過(guò)點(diǎn)A作AM∥PE，過(guò)點(diǎn)E作EM∥PA，AM和EM相交于點(diǎn)M，在圖中先補(bǔ)充圖形，再判斷四邊形PAME的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AC=2AB，點(diǎn)D、P分別是AC、BC的中點(diǎn)，△ADE是等腰三角形，∠AED=90°，可證明△BAE≌△CDE，從而可得出結(jié)論．
（2）做完輔助線，根據(jù)過(guò)點(diǎn)A作AM∥PE，過(guò)點(diǎn)E作EM∥PA，可判斷是平行四邊形，再根據(jù)P是BC的中點(diǎn)，BC是Rt△BAC和Rt△BEC的斜邊從而可證明是菱形．
解答：解：（1）BE=EC且BE⊥CE
證明：由已知AB=AD=DC，EA=ED，∠BAE=∠CDE=135°
∴△BAE≌△CDE．
∴BE=EC，∠BEA=∠CED．
∴∠BEC=∠BED+∠CED=∠BED+∠BEA=∠AED=90°，
∴BE⊥EC；（4分）

（2）四邊形PAME是菱形（6分）
證明：∵AM∥PE，EM∥PA，
∴四邊形PAME是平行四邊形．
又∵P是BC的中點(diǎn)，BC是Rt△BAC和Rt△BEC的斜邊，
∴PA=PE=BC，
∴四邊形PAME為菱形．（9分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)．