Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB邊上的一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連接DE并延長，與BC的延長線交于點F．

(1)求證：DE＝FE；

(2)若BC＝3，AD＝2，求BF的長．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：連接OE，BE 　　則OE⊥AC，BE⊥DF 　　所以∠AEO＝90°．　2分 　　又因為∠ACB＝90°， 　　所以OE∥BC 　　又DO＝OB， 　　所以O(shè)E是△ABC的中位線， 　　所以DE＝EF．　4分 　　(2)解：Rt△ABC和Rt△AOE中，∠A是公共角， 　　∴Rt△ABC∽Rt△AOE，　6分 　　∴＝． 　　設(shè)⊙O的半徑是r，則有， 　　解得r＝2，∴BD＝4．　8分 　　由(1)得∠BDF＝∠OED＝∠BFD， 　　∴BF＝BD＝4　10分