Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=ax2+bx上有兩點(diǎn)A、C，分別過A、C作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)B、點(diǎn)D，OC與AB相交于點(diǎn)E．已知點(diǎn)A（1，3），且△AOB≌△OCD．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)四邊形AEPF為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；

（3）如圖2，若△AOB沿AC方向由A→C平移得到△A′O′B′，在平移過程中，△AOB與△OCD的重疊部分的面積記為S，試探究S是否存在最大值？若存在，求出A′的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y＝x 2＋x; (2) （2，） ;(3)見解析.

【解析】分析：（1）由全等三角形的性質(zhì)得到OB=CD，AB=OD．即可得到C的坐標(biāo)，把A、C的坐標(biāo)代入，解方程即可得到結(jié)論；

（2）設(shè)直線OC的解析式為：y=kx，把C的坐標(biāo)代入即可得到k的值，從而得到E的坐標(biāo)．設(shè)點(diǎn)P（m，m），則F(m，m2＋m ) ．要使四邊形AEPF為平行四邊形 ，則AE=PF ，解方程即可得到結(jié)論；

（3）設(shè)A′B′交x軸于T，交OC于Q，A′O′交x軸于K，交OC于R．求得直線AC的解析式為y＝-x+4，可設(shè)點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)為t，則點(diǎn)A′(t，－t +4 )，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t，) ．

過點(diǎn)R作RF⊥A′B′于點(diǎn)F，由相似三角形的性質(zhì)可求出RF的長(zhǎng)，由△A′KT∽△A′O′B′可求出KT的長(zhǎng)，進(jìn)而得到A′Q的長(zhǎng)，由S四邊形RKTQ＝S△A′KT－S△A′RQ得到S是關(guān)于t的二次函數(shù)，配方即可得出結(jié)論．

詳解：（1）∵△AOB≌△OCD，∴OB=CD，AB=OD．

∵A（1，3），∴C（3，1），

∴，

解得：a＝，b＝，∴拋物線的解析式為y＝x 2＋x，

（2）設(shè)直線OC的解析式為：y=kx，則1=3k ，∴k=，∴E（1，）．

設(shè)點(diǎn)P（m，m），則F(m，m2＋m ) ．

要使四邊形AEPF為平行四邊形 ，則AE=PF ∴3-=m2＋m-m，

∴m=1（不合題意，舍去）或m=2 ∴P（2，），∴當(dāng)四邊形AEPF為平行四邊形時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，）．

（3）設(shè)A′B′交x軸于T，交OC于Q，A′O′交x軸于K，交OC于R．求得直線AC的解析式為y＝-x+4，可設(shè)點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)為t，則點(diǎn)A′(t，－t +4 )，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t，) ．

過點(diǎn)R作RF⊥A′B′于點(diǎn)F．

∵△A′RQ∽△AOE，∴，∴RF＝＝，

由△A′KT∽△A′O′B′得，∴KT＝A′T＝ (4－t)，A′Q＝(－t+4)－＝，

∴S四邊形RKTQ＝S△A′KT－S△A′RQ＝KT·A′T－A′Q·RF＝·(4－t)－· ，

＝=，∴當(dāng)t=2時(shí)，S最大，∴A′(2，2) ．