Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC＞AC，以斜邊AB所在直線為x軸，以斜邊AB上的高所在直線為y軸，建立直角坐標系，若OA²+OB²=17，且線段OA、OB的長度是關于x的一元二次方程x²-mx+2（m-3）=0的兩個根．
（1）求C點的坐標；
（2）以斜邊AB為直徑作圓與y軸交于另一點E，求過A、B、E三點的拋物線的解析式，并畫出此拋物線的草圖；
（3）在拋物線上是否存在點P，使△ABP與△ABC全等？若存在，求出符合條件的P點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）線段OA、OB的長度是關于x的一元二次方程x²-mx+2（m-3）=0的兩個根．根據韋達定理就可以得到關于OA，OB的兩個式子，再已知OA²+OB²=17，就可以得到一個關于m的方程，從而求出m的值．求出OA，OB．根據OC²=OA•OB就可以求出C點的坐標；
（2）由第一問很容易求出A，B的坐標．連接AB的中點，設是M，與E，在直角△OME中，根據勾股定理就可以求出OE的長，得到E點的坐標，利用待定系數法就可以求出拋物線的解析式；
（3）E點就是滿足條件的點．同時C，E關于拋物線的對稱軸的對稱點也是滿足條件的點．

解答：解：（1）∵線段OA、OB的長度是關于x的一元二次方程x²-mx+2（m-3）=0的兩個根，
∴

OA+OB=m，(1) OA•OB=2(m-3)．(2)

又∵OA²+OB²=17，
∴（OA+OB）²-2•OA•OB=17，（3）
∴把（1）（2）代入（3），得m²-4（m-3）=17，
∴m²-4m-5=0，
解之，得m=-1或m=5，
又知OA+OB=m＞0，
∴m=-1應舍去，
∴當m=5時，得方程x²-5x+4=0，
解之，得x=1或x=4，
∵BC＞AC，
∴OB＞OA，
∴OA=1，OB=4，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OC²=OA•OB=1×4=4，
∴OC=2，
∴C（0，2）；

（2）∵OA=1，OB=4，C、E兩點關于x軸對稱，
∴A（-1，0），B（4，0），E（0，-2），
設經過A、B、E三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=-2

解之，得

a= 1 2 b=- 3 2 c=-2

，
∴所求拋物線解析式為y=

1

2

x2-

3

2

x-2；

（3）存在，
∵點E是拋物線與圓的交點，
∴Rt△ACB≌RT△AEB，
∴E（0，-2）符合條件，
∵圓心的坐標（

3

2

，0）在拋物線的對稱軸上，
∴這個圓和這條拋物線均關于拋物線的對稱軸對稱，
∴點E關于拋物線對稱軸的對稱點E′也符合題意，
∴可求得E′（3，-2），
∴拋物線上存在點P符合題意，它們的坐標是（0，-2）和（3，-2）．

點評：本題是二次函數與圓以及全等三角形相結合的題目，難度較大，利用數形結合有利于對題目的理解．