Question

【題目】已知如圖，拋物線(xiàn)交軸于兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，交軸于點(diǎn).已知．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）已知直線(xiàn)，若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)求的面積；

（3）在（2）的條件下，拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)使若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，．

【解析】

（1）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)，坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；

（2）聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的解析式得出一元二次方程，判別式為0，求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；

（3）Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，先構(gòu)造出，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的解析式，解方程組即可得出點(diǎn)坐標(biāo)，

Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，判斷出點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，進(jìn)而聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的解析式，解方程組即可得出結(jié)論．

解：（1）對(duì)于拋物線(xiàn)，

令，則，

，

，

，

，，

，，

點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上，

，

，

拋物線(xiàn)的解析式為；

（2）由（1）知，拋物線(xiàn)的解析式為①，

直線(xiàn)②與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

聯(lián)立①②得，，

，

△，

，

，

，

，

直線(xiàn)的解析式為

如圖1，記直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，則，

；

（3）由（2）知，，

Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，如圖2，

將線(xiàn)段以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，連接，則，

在中，，

，

，

點(diǎn)是與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，

，，

，，

，

，

由旋轉(zhuǎn)知，，，

，

，

，

，，

，，，，

直線(xiàn)的解析式為③，

拋物線(xiàn)的解析式為④，

聯(lián)立③④解得，或，

，，

Ⅱ、由Ⅰ知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，

點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，

點(diǎn)是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，

，

直線(xiàn)的解析式為⑤，

聯(lián)立④⑤，解得，或，

，，即滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．