Question

【題目】二次函數(shù)圖象的頂點在原點O，經(jīng)過點A（1，）；點F（0，1）在y軸上．直線y=﹣1與y軸交于點H．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）點P是（1）中圖象上的點，過點P作x軸的垂線與直線y=﹣1交于點M.

求證：PFM為等腰三角形；

（3）作PQFM于點Q，當點P從橫坐標2013處運動到橫坐標2017處時,請求出點Q運動的路徑長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）2.

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2，將點A的坐標代入求得a的值即可；

（2）由兩點間的距離公式可求得PM和PF的長，從而得到PM=PF；

（3）由等腰三角形的性質(zhì)可知點Q是FM的中點，從而得到OQ是△FHM的中位線，由三角形中位線的性質(zhì)可求得當點P的橫坐標為2013時，OQ=1006.5；當點P的橫坐標為2017時，OQ=1008.5，故此可求得點Q運動的路徑長．

（1）二次函數(shù)解析式為：y=ax2，

∵經(jīng)過點A（1，），∴a=，∴二次函數(shù)的解析式y=x2．

（2）∵點P是（1）中圖象上的點，過點P作x軸的垂線與直線y=﹣1交于點M，

設(shè)P（x，x2），則M（x，﹣1），∴PM=x2+1．

由兩點間的距離公式可知：PF====，∴PF=PM ，即△PFM為等腰三角形．

（3）如圖所示：過點P作PQ⊥FM，垂足為Q．

∵PF=PM，PQ⊥FM，∴FQ=QM．

∵OF=OH，FQ=QM，∴OQ∥HM，且OQ=MH．

當點P的橫坐標為2013時，

當點P的橫坐標為2017時，

∴點Q運動的路徑長：1008.5-1006.5=2．