Question

如圖①、②在?ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分線AF、BG分別與線段CD兩側(cè)的延長(zhǎng)線（或線段CD）相交于點(diǎn)F、G，AF與BG相交于點(diǎn)E．
（1）在圖①中，求證：AF⊥BG，DF=CG；
（2）在圖②中，仍有（1）中的AF⊥BG、DF=CG．若AB=10，AD=6，BG=4，求FG和AF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)∠DAF=∠2，∠BAF=∠1，∠ABG=∠3，∠GBC=∠4．利用角平分線的性質(zhì)可知，∠1=∠2=∠BAD，∠3=∠4=∠ABC，再利用平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，可證垂直；再利用其對(duì)邊平行，又可得∠1=∠F，∠3=∠G，等量代換，可得邊相等，又有平行四邊形的對(duì)邊相等，可證；
（2）可利用和（1）相同的證法可得．延長(zhǎng)BG、AD交于點(diǎn)H，利用角平分線的性質(zhì)以及平行四邊形的對(duì)邊平行，可得DG=DH，AB=AH，即可求DH=DG=4，那么FG=2，又△FEG∽△AEB，可得相似比，能求出EG、BE的長(zhǎng)，利用勾股定理，可求出AE，EF的長(zhǎng)，那么AF就可求．
解答：（1）證明：如圖①，在平行四邊形ABCD中，∠BAD+∠ABC=180°
∵AF、BG分別平分∠BAD和∠ABC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠3=（∠BAD+∠ABC）=×180°=90°，
∴在△AEB中，∠AEB=90°，知AF⊥BG．
又有平行四邊形ABCD中，AB∥CD，即AB∥FG，
可得∠1=∠F，而∠1=∠2，
∴∠2=∠F，
∴在△DAF中，DF=AD（4分）
同理可得，在△CBG中，CG=BC，
∵平行四邊形ABCD中，AD=BC，
∴DF=CG；

（2）解：如圖②，平行四邊形ABCD中，CD=AB=10，BC=AD=6，
由（1）和題意知，DF=AD=6，CF=CD-DF=4，
同理可得，CG=BC=6，
∴FG=CG-CF=2．

解法一：過點(diǎn)A作AH∥BG，交CD的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)（9分）
則四邊形ABGH是平行四邊形，且AH⊥AF
∴AH=BG=4，GH=AB=10，∴FH=FG+GH=12（10分）
在Rt△FAH中，；

解法二：過點(diǎn)C作CM∥AF，分別交AB、BG于點(diǎn)M、N（9分）
則四邊形AMCF是平行四邊形，CM=AF，且CM⊥BG于點(diǎn)N，
在等腰△BCM中，CN=NM，即CM=2CN
在等腰△CBG中，BN=NG=BG=2，
在Rt△BNC中，，
∴AF=CM=2CN=8；

解法三：平行四邊形ABCD中，AB∥CD，題知AF⊥BG，
∴Rt△ABE∽R(shí)t△FGE，得，
而GE=BG-BE，
∴=，
解得BE=，
∴GE=4-=（10分）
在Rt△AEB中，AE=，
在Rt△FEG中，EF=，
∴AF=AE+EF=8．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)．