Question

如圖，把兩個全等的Rt△AOB和Rt△COD分別置于平面直角坐標系中，使直角邊OB、OD在x軸上．已知點A(1，2)，過A、C兩點的直線分別交x軸、y軸于點E、F．拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過O、A、C三點．

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；

(2)點P為線段OC上一個動點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點M，交x軸于點N，問是否存在這樣的點P，使得四邊形ABPM為等腰梯形？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

(3)若△AOB沿AC方向平移(點A始終在線段AC上，且不與點C重合)，△AOB在平移過程中與△COD重疊部分面積記為S．試探究S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點O、A、C，利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式； 　　(2)根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，確定相關(guān)點的坐標以及線段長度的數(shù)量關(guān)系，得到一元二次方程，求出t的值，從而可解．結(jié)論：存在點P(，)，使得四邊形ABPM為等腰梯形； 　　(3)本問關(guān)鍵是求得重疊部分面積S的表達式，然后利用二次函數(shù)的極值求得S的最大值．解答中提供了三種求解面積S表達式的方法，殊途同歸，可仔細體味． 　　解答：解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點O、A、C， 　　可得c＝0，∴， 　　解得a＝，b＝， 　　∴拋物線解析式為y＝x2＋x． 　　(2)設(shè)點P的橫坐標為t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN＝ 　　∴P(t，)，∵點M在拋物線上，∴M(t，t2＋t)． 　　如下圖，過M點作MG⊥AB于G，過P點作PH⊥AB于H， 　　AG＝y(tǒng)A－yM＝2－(t2＋t)＝t2－t＋2，BH＝PN＝． 　　當AG＝BH時，四邊形ABPM為等腰梯形， 　　∴t2－t＋2＝， 　　化簡得3t2－8t＋4＝0，解得t1＝2(不合題意，舍去)，t2＝， 　　∴點P的坐標為(，) 　　∴存在點P(，)，使得四邊形ABPM為等腰梯形． 　　(3)如下答圖，△AOB沿AC方向平移至△，交x軸于T，交OC于Q，交x軸于K，交OC于R． 　　求得過A、C的直線為yAC＝－x＋3，可設(shè)點的橫坐標為a，則點(a，－a＋3)， 　　易知△OQT∽△OCD，可得QT＝， 　　∴點Q的坐標為(a，)． 　　解法一： 　　設(shè)AB與OC相交于點J， 　　∵△ARQ∽△AOJ，相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，∴＝ 　　∴HT＝＝＝2－a， 　　KT＝T＝(3－a)，Q＝y(tǒng)－yQ＝(－a＋3)－＝3－a． 　　S四邊形RKTQ＝S－S＝KT·T－Q·HT 　�。�··(3－a)－·(3－a)·(－a＋2) 　�。�a2＋a－＝(a－)2＋ 　　由于＜0， 　　∴在線段AC上存在點(，)，能使重疊部分面積S取到最大值，最大值為． 　　解法二： 　　過點R作RH⊥x軸于H，則由△ORH∽△OCD，得① 　　由△RKH∽△，得② 　　由①，②得KH＝OH， 　　OK＝OH，KT＝OT－OK＝a－OH③ 　　由△KT∽△，得， 　　則KT＝④ 　　由③，④得＝a－OH，即OH＝2a－2，RH＝a－1，所以點R的坐標為R(2a－2，a－1) 　　S四邊形RKTQ＝S△QOT－S△ROK＝·OT·QT－·OK·RH 　�。�a·a－(1＋a－)·(a－1) 　�。�a2＋a－＝(a－)2＋ 　　由于＜0， 　　∴在線段AC上存在點(，)，能使重疊部分面積S取到最大值，最大值為． 　　解法三： 　　∵AB＝2，OB＝1，∴tan∠＝tan∠OAB＝， 　　∴KT＝T·tan∠＝(－a＋3)·＝a＋， 　　∴OK＝OT－KT＝a－(a＋)＝a－， 　　過點R作RH⊥x軸于H，∵tan∠OAB＝tan∠RKH＝＝2，∴RH＝2KH 　　又∵tan∠OAB＝tan∠ROH＝＝＝， 　　∴2RH＝OK＋KH＝a－＋RH，∴RH＝a－1，OH＝2(a－1)， 　　∴點R坐標R(2a－2，a－1) 　　S四邊形RKTQ＝S－S＝·KT·T－Q·(xQ－xR) 　�。�··(3－a)－·(3－a)·(－a＋2) 　�。�a2＋a－＝(a－)2＋ 　　由于＜0， 　　∴在線段AC上存在點(，)，能使重疊部分面積S取到最大值，最大值為． 　　點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰梯形、相似三角形、圖形的平移以及幾何圖形面積的求法，涉及到的知識點眾多，難度較大，對學(xué)生能力要求較高，有利于訓(xùn)練并提升學(xué)生解決復(fù)雜問題的能力．

提示：

考點：二次函數(shù)綜合題．