已知:如圖,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿折線AC--CB--BA以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng),伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng),PE保持平行AC,且交BC于點(diǎn)E.點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí),P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng),連接EQ.若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(t>0),請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)t=1時(shí),PE=______,QC=______;
(2)是否存在某一時(shí)刻t,使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長(zhǎng)平分?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,說(shuō)明理由;
(3)設(shè)△AQP的面積為y,求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出t的取值范圍;
(4)是否存在某一時(shí)刻t,使△PQE為等腰三角形?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)利用三角形相似和線段差就可以求出PE、QC的長(zhǎng).
(2)運(yùn)動(dòng)t秒后利用此時(shí)分得的周長(zhǎng)相等建立等量關(guān)系,求出其t值就可.
(3)△AQP的面積是AQ乘以CE的積的一半,把AQ、EC用含t的式子表示出來(lái)就可以了.
(4)△PQE為等腰三角形分為兩種情況,當(dāng)Q點(diǎn)在AC邊時(shí)和Q點(diǎn)在AB邊上時(shí),利用相似的性質(zhì)和勾股定理可以求出對(duì)應(yīng)的t值.
解答:解:(1)∵△ABC是Rt△,且AC=4,BC=3,由勾股定理得
AB==5
當(dāng)t=1時(shí),PB=1,AQ=2
∴QC=2
∵PE∥AC
∴△BPE∽△BAC


∴PE=

(2)由題意得;
5-t+2t=t+3+4-2t
解得:t=1

(3)∵PE∥AC
∴△BPE∽△BAC


∴BE=
∴EC=3-
∴y=
y=(0≤t≤2)
∴當(dāng)2<t≤時(shí)
y=
y=

(4)由題意得:
t-(2t-7)=
解得:t=
點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理.
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精英家教網(wǎng)已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,過(guò)點(diǎn)B作BD∥AC,且BD=2AC,連接AD.試判斷△ABD的形狀,并說(shuō)明理由.

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(1997•陜西)已知,如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC為直徑的⊙O交斜邊AB于E,OD∥AB.求證:①ED是⊙O的切線;②2DE2=BE•OD.

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(1)求證:DE與⊙O相切;
(2)連結(jié)OE,若cos∠BAD=
3
5
,BE=
14
3
,求OE的長(zhǎng).

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已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=8,點(diǎn)D在斜邊AB上,分別作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分別為E、F,得四邊形DECF,設(shè)DE=x,DF=y.
(1)求出cosB的值;
(2)用含y的代數(shù)式表示AE;
(3)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出x的取值范圍;
(4)設(shè)四邊形DECF的面積為S,求出S的最大值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知,如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,BC=20,求斜邊AB上的高CD.

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