Question

如圖，巳知A為∠POQ的邊OQ上一點(diǎn)，OA=2，以A為頂點(diǎn)的∠MAN的兩邊分別交射線OP于M、N兩點(diǎn)，且∠MAN=∠POQ=60°．當(dāng)∠MAN以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，AM邊從與AO重合的位置開始，若按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ°（∠MAN保持不變）時(shí)，M、N兩點(diǎn)在射線OP上向右平移的距離分別為a、b，請(qǐng)問θ等于幾度時(shí)b=2a？

Answer 1

分析：△OAB為等邊三角形，則OA=OB=AB=2，則OM=a，BN=b，假定b=2a，則BM=2-a，ON=2+2a，易證△AMB∽△NAO，利用相似比可求出a=1，則在△BAN中，BA=BN=2，得到∠BNA=θ，利用三角形的外角性質(zhì)即可得到θ的度數(shù)．

解答：解：如圖，△OAB為等邊三角形，則OA=OB=AB=2，
根據(jù)題意得，OM=a，BN=b，
若b=2a，則BM=2-a，ON=2+2a，
∵∠AOB=∠AOB=60°，
∠AMB=∠OAN=60°+θ，
∴△AMB∽△NAO，
∴

AB

ON

=

BM

OA

，即

2

2+2a

=

2-a

2

，
解得a=1，
∴BN=2，
在△BAN中，BA=BN=2，
∴∠BNA=θ，
∴∠AOB=2θ=60°，
∴θ=30°，
即θ等于30度時(shí)b=2a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和三角形相似的判定與性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)．