Question

如圖，巳知A為∠POQ的邊OQ上一點，OA=2，以A為頂點的∠MAN的兩邊分別交射線OP于M、N兩點，且∠MAN=∠POQ=60°．當(dāng)∠MAN以點A為旋轉(zhuǎn)中心，AM邊從與AO重合的位置開始，若按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ°（∠MAN保持不變）時，M、N兩點在射線OP上向右平移的距離分別為a、b，請問θ等于幾度時b=2a？

Answer 1

解：如圖，△OAB為等邊三角形，則OA=OB=AB=2，
根據(jù)題意得，OM=a，BN=b，
若b=2a，則BM=2-a，ON=2+2a，
∵∠AOB=∠AOB=60°，
∠AMB=∠OAN=60°+θ，
∴△AMB∽△NAO，
∴=，即=，
解得a=1，
∴BN=2，
在△BAN中，BA=BN=2，
∴∠BNA=θ，
∴∠AOB=2θ=60°，
∴θ=30°，
即θ等于30度時b=2a．
分析：△OAB為等邊三角形，則OA=OB=AB=2，則OM=a，BN=b，假定b=2a，則BM=2-a，ON=2+2a，易證△AMB∽△NAO，利用相似比可求出a=1，則在△BAN中，BA=BN=2，得到∠BNA=θ，利用三角形的外角性質(zhì)即可得到θ的度數(shù)．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和三角形相似的判定與性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)．