Question

【題目】已知BC＝5，AB＝1，AB⊥BC，射線CM⊥BC，動點P在線段BC上（不與點B，C重合），過點P作DP⊥AP交射線CM于點D，連接AD．

（1）如圖1，若BP＝4，判斷△ADP的形狀，并加以證明．

（2）如圖2，若BP＝1，作點C關(guān)于直線DP的對稱點C′，連接AC′．

①依題意補(bǔ)全圖2；

②請直接寫出線段AC′的長度．

Answer 1

【答案】（1）△ADP是等腰直角三角形．證明見解析；（2）①補(bǔ)圖見解析；②

【解析】

（1）先判斷出PC=AB，再用同角的余角相等判斷出∠APB=∠PDC，得出△ABP≌△PCD（AAS），即可得出結(jié)論；

（2）①利用對稱的性質(zhì)畫出圖形；

②過點C'作C'Q⊥BA交BA的延長線于Q，先求出CP=4，AB=AP，∠CPD=45°，進(jìn)而得出C'P=CP=4，∠C'PD=∠CPD=45°，再判斷出四邊形BQC'P是矩形，進(jìn)而求出AQ=BQ﹣AB=3，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．

（1）△ADP是等腰直角三角形．證明如下：

∵BC=5，BP=4，∴PC=1．

∵AB=1，∴PC=AB．

∵AB⊥BC，CM⊥BC，DP⊥AP，∴∠B=∠C=90°，∠APB+∠DPC=90°，∠PDC+∠DPC=90°，∴∠APB=∠PDC．

在△ABP和△PCD中，∵，∴△ABP≌△PCD（AAS），∴AP=PD．

∵∠APD=90°，∴△ADP是等腰直角三角形．

（2）①依題意補(bǔ)全圖2；

②過點C'作C'Q⊥BA交BA的延長線于Q．

∵BP=1，AB=1，BC=5，∴CP=4，AB=AP．

∵∠ABP=90°，∴∠APB=45°．

∵∠APD=90°，∴∠CPD=45°，連接C'P．

∵點C與C'關(guān)于DP對稱，∴C'P=CP=4，∠C'PD=∠CPD=45°，∴∠CPC'=90°，∴∠BPC'=90°，∴∠Q=∠ABP=∠BPC'=90°，∴四邊形BQC'P是矩形，∴C'Q=BP=1，BQ=C'P=4，∴AQ=BQ﹣AB=3．在Rt△AC'Q中，AC′．