已知:等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PC=2,PA=4,PB=2
3
,則AB=
2
7
2
7
分析:將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BDA,∠DBP=60°,BD=BP=2
3
,可得△BDP是等邊三角形,由AD=CP=2,PA=4,根據(jù)勾股定理的逆定理可得△ADP是直角三角形,作BF⊥AF,在直角△BFD中,可得BF=
3
,DF=3,所以,在直角△AFB中,AF=5,BF=
3
,即可求出AB的長(zhǎng);
解答:解:將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BDA,
∴∠DBP=60°,BD=BP=2
3
,
∴△BDP是等邊三角形,
∴DP=2
3
,
又∵AD=CP=2,AP=4,
∴AD2+PD2=AP2,
∴△ADP是直角三角形,
作BF⊥AF,
∴∠FDB=90°-∠BDP=30°,
∴在直角△BFD中,
BF=
3
,DF=3,
∴AF=5,
∴在直角△AFB中,AB2=AF2+BF2
即AB2=25+3,
∴AB=2
7
;
故答案為:2
7
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),作輔助線(xiàn)構(gòu)建直角三角形,是解答本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•延慶縣一模)如圖1,已知:已知:等邊△ABC,點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合),求證:BD+DC>AD.
下面的證法供你參考:
把△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABE,連接ED,則有△ACD≌△ABE,DC=EB,∵AD=AE,∠DAE=60°,
∴△ADE是等邊三角形,∴AD=DE.在△DBE中,BD+EB>DE,即:BD+DC>AD
實(shí)踐探索:
(1)請(qǐng)你仿照上面的思路,探索解決下面的問(wèn)題:
如圖3,點(diǎn)D是等腰直角三角形△ABC邊上的點(diǎn)(點(diǎn)D不與B、C重合).求證:BD+DC>
2
AD.
(2)如果點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到等腰直角三角形△ABC外或內(nèi)時(shí),BD、DC和AD之間又存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫(xiě)出結(jié)論.
創(chuàng)新應(yīng)用:
(3)已知:如圖4,等腰△ABC中,AB=AC,且∠BAC=α(α為鈍角),D是等腰△ABC外一點(diǎn),且∠BDC+∠BAC=180°,BD、DC與AD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫(xiě)出你的猜想,并證明.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•新華區(qū)一模)已知:等邊△ABC的面積為S,Dn,En,F(xiàn)n(n為正整數(shù)0分別是AB,BC,CA邊上的點(diǎn),連接DnEn,EnFn,F(xiàn)nDn,可得△DnEnFn
如圖1,當(dāng)AD1=BE1=CF1=
1
2
AB時(shí),我們?nèi)菀椎玫健鱀1E1F1是等邊三角形,且SAD1F1=S△D1E1F1=
1
4
S.
探究論證:
(1)如圖2,當(dāng)AD2=BE2=CF2=
1
3
AB時(shí),
①△D2E2F2
等邊
等邊
三角形(填寫(xiě)“等腰”或“等邊”或“不等邊”);
SAD2F2=
2
9
S
2
9
S
;S△D2E2F2=
1
3
S
1
3
S
(用含S的代數(shù)式表示);
③請(qǐng)說(shuō)明以上結(jié)論的正確性.
猜想發(fā)現(xiàn):
(2)如圖3,當(dāng)ADn=BEn=CFn=
1
n+1
AB時(shí),
①△DnEnFn
等邊
等邊
三角形(填寫(xiě)“等腰”或“等邊”或“不等邊”);
S△ADnFn=
n
(n+1)2
S
n
(n+1)2
S
S△DnEnFn=
n2-n+1
(n+1)2
S
n2-n+1
(n+1)2
S
(用含S的代數(shù)式表示).
實(shí)際應(yīng)用:
(3)學(xué)校有一塊面積為49m2的等邊△ABC空地,按如圖4所示分割,其中AD6=BE6=CF6=
1
7
AB,計(jì)劃在△D6E6F6內(nèi)栽種花卉,其余地方鋪草坪,則栽種花卉(即陰影部分)的面積為多少m2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

已知:等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PC=2,PA=4,PB=數(shù)學(xué)公式,則AB=________.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年最佳中考數(shù)學(xué)模擬試卷(六)(解析版) 題型:填空題

已知:等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PC=2,PA=4,PB=,則AB=   

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