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如圖1,已知拋物線y=ax2+bxa≠0)經過A(3,0)、B(4,4)兩點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)將直線OB向下平移m個單位長度后,得到的直線與拋物線只有一個公共點D,求m的值及點D的坐標;

(3)如圖2,若點N在拋物線上,且∠NBO=∠ABO,則在(2)的條件下,求出所有滿足

POD∽△NOB的點P坐標(點P、OD分別與點N、OB對應).

 



解:(1)∵拋物線y=ax2+bxa≠0)經過A(3,0)、B(4,4)

∴將AB兩點坐標代入得:,解得:

∴拋物線的解析式是y=x2﹣3x.                              

(2)設直線OB的解析式為y=k1x,由點B(4,4),

得:4=4k1,解得:k1=1     ∴直線OB的解析式為y=x

∴直線OB向下平移m個單位長度后的解析式為:y=xm,

xm=x2﹣3x,    

∵拋物線與直線只有一個公共點,   ∴△=16﹣4m=0,

解得:m=4,                                               

此時x1=x2=2,y=x2﹣3x=﹣2, 

D點的坐標為(2,﹣2).                                 

(3)∵直線OB的解析式為y=x,且A(3,0),

∴點A關于直線OB的對稱點A′的坐標是(0,3),

根據軸對稱性質和三線合一性質得出∠ABO=∠ABO

設直線AB的解析式為y=k2x+3,過點(4,4),

∴4k2+3=4,解得:k2=,    ∴直線AB的解析式是y=,

∵∠NBO=∠ABO,∠ABO=∠ABO,    ∴BA′和BN重合,即點N在直線AB上,

∴設點Nn,),又點N在拋物線y=x2﹣3x上,

=n2﹣3n,    解得:n1=﹣,n2=4(不合題意,舍去)

N點的坐標為(﹣,).            

如圖1,將△NOB沿x軸翻折,得到△N1OB1

N1,),B1(4,﹣4),

O、D、B1都在直線y=﹣x上.

∵△P1OD∽△NOB,△NOB≌△N1OB1,    ∴△P1OD∽△N1OB1,

,    ∴點P1的坐標為().

將△OP1D沿直線y=﹣x翻折,可得另一個滿足條件的點P2,),

綜上所述,點P的坐標是()或(,).         

練習冊系列答案
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下列計算正確的是(  )  

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