Question

如圖，拋物線E：y=ax²（a＞0）沿x軸正方向平移2個單位得到拋物線F，拋物線F的頂點為B，拋物線F交拋物線E于點A，點C是線段OB上一動點．
（1）求點A的坐標；
（2）求證：△AOB是等腰三角形；
（3）當a為何值時，直線AC把△AOB分割成的兩個三角形均為等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）由于拋物線E：y=ax²（a＞0）沿x軸正方向平移2個單位得到拋物線F，所以根據(jù)平移規(guī)律得到F的解析式為y=a（x-2）²，聯(lián)立兩個拋物線的解析式解方程組即可得到A的坐標；
（2）過點A作AD⊥OB于D，根據(jù)平移可以得到點B的坐標為（0，2），由此得到OB和OD的長度，由此即可得到點D是OB的中點，最后利用等腰三角形的判定即可證明△AOB是等腰三角形；
（3）設∠AOB=∠ABO=x°，當AC=CB=OC時，滿足條件如圖①所示，則4x=180，解方程即可解決問題；
當AC=OC，AB=CB時，滿足條件如圖②所示，則5x=180，解方程解決問題．

解答：解：（1）y=ax²平移后得到拋物線F的解析式為y=a（x-2）²，
∴

y=ax2 y=a(x-2)2

解得：

x=1 y=a

，
點A的坐標為（1，a）；

證明：（2）過點A作AD⊥OB于D
∴點B的坐標為（0，2）
∴OB=2，OD=1，
∴點D是OB的中點，
∴OA=BA，
△AOB是等腰三角形；

（3）設∠AOB=∠ABO=x°，
當AC=CB=OC時，滿足條件如圖①所示，
則x+x+x+x=180，
∴x=45°，
∴△AOC為等腰直角三角形，
∴a=1；
當AC=OC，AB=CB時，滿足條件如圖②所示，則 x+x+x+2x=180，
∴x=36°，
過A作AD⊥OB于D，則AD=a，OD=1，
在Rt△AOD中，a=OD•tan36°≈0.6．

點評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識點有拋物線的平移、拋物線交點坐標與其解析式的組成的方程組的解的關系及等腰三角形的性質與判定，也利用了三角函數(shù)的定義，綜合性比較強，定義學生的能力要求比較高，平時加強訓練．