Question

【題目】定義：若一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y=-滿足a+c=2b，則稱為y=ax2+bx+c為一次函數(shù)和反比例函數(shù)的“等差”函數(shù)．

（1）判斷y=x+b和y=-是否存在“等差”函數(shù)？若存在，寫出它們的“等差”函數(shù)；

（2）若y=5x+b和y=-存在“等差”函數(shù)，且“等差”函數(shù)的圖象與y=-的圖象的一個交點的橫坐標(biāo)為1，求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；

（3）若一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y=-（其中a＞0，c＞0，a=b）存在“等差”函數(shù)，且y=ax+b與“等差”函數(shù)有兩個交點A（x1，y1）、B（x2，y2），試判斷“等差”函數(shù)圖象上是否存在一點P（x，y）（其中x1＜x＜x2），使得△ABP的面積最大？若存在，用c表示△ABP的面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)，;(3)見解析.

【解析】

（1）根據(jù)“等差”函數(shù)的定義，可知，，列方程求出b的值即可；

（2）根據(jù)“等差”函數(shù)的定義可得，，由此可列出“等差”函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)的解析式，當(dāng)時聯(lián)立兩函數(shù)解析式可求出，問題得解；

（3）根據(jù)“等差”函數(shù)的定義用c表示出a和b，然后得到“等差”函數(shù)的解析式與一次函數(shù)解析式，求出的值，過點P作軸,交AB于H，求出，然后根據(jù)三角形面積公式和二次函數(shù)的最值求解.

解：(1)存在.
假設(shè)一次函數(shù)與反比例函數(shù)存在“等差”函數(shù),

則，，
解得:
存在“等差”函數(shù),其解析式為;
(2)根據(jù)題意知：,

則“等差”函數(shù)的解析式為,

反比例函數(shù)的解析式為
根據(jù)題意,將代入,

得:,解得,
故一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為;
(3)存在.
根據(jù)題意知：，

，
則“等差”函數(shù)的解析式為,一次函數(shù)解析式為

與“等差”函數(shù)有兩個交點，

即

如圖,過點P作軸,交AB于H,

點點在,之間

當(dāng)時,S取得最大值,最大值為.