Question

【題目】已知拋物線(xiàn)y=ax2﹣2ax+c與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且|OC|=3|OA|

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）直接寫(xiě)出直線(xiàn)BC的函數(shù)表達(dá)式；
（3）如圖1，D為y軸的負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且OD=2，以O(shè)D為邊作正方形ODEF．將正方形ODEF以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸的正方向移動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)正方形ODEF與△OBC重疊部分的面積為s，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t≤2）．
求：①s與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
②在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，s是否存在最大值？如果存在，直接寫(xiě)出這個(gè)最大值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）如圖2，點(diǎn)P（1，k）在直線(xiàn)BC上，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上，是否存在以A、M、N、P為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

答案

解：∵A（﹣1，0），|OC|=3|OA|

∴C（0，﹣3）

∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），

C（0，﹣3）

∴

∴

∴y=x2﹣2x﹣3

；

答案

解：∵A（﹣1，0），|OC|=3|OA|

∴C（0，﹣3）

∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），

C（0，﹣3）

∴

∴

∴y=x2﹣2x﹣3

；答案；解：∵A（﹣1，0），|OC|=3|OA|

∴C（0，﹣3）

∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），

C（0，﹣3）

∴

∴

∴y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：）由（1）的拋物線(xiàn)知：點(diǎn)B（3，0）；

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為：y=kx﹣3，代入B點(diǎn)坐標(biāo)，得：

3k﹣3=0，解得 k=1

∴直線(xiàn)BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x﹣3

（3）

解：當(dāng)正方形ODEF的頂點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到直線(xiàn)BC上時(shí)，設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，﹣2），

根據(jù)題意得：﹣2=m﹣3，∴m=1．

①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，正方形和△OBC的重合部分是矩形；

∵OO1=t，OD=2

∴S1=2t；

當(dāng)1＜t≤2時(shí)，正方形和△OBC的重合部分是五邊形，如右圖；

∵OB=OC=3，∴△OBC、△D1GH都是等腰直角三角形，∴D1G=D1H=t﹣1；

S2=S矩形DD1O1O﹣S△D1HG=2t﹣ ×（t﹣1）2=﹣ t2+3t﹣ ．

②由①知：

當(dāng)0＜t≤1時(shí)，S=2t的最大值為2；

當(dāng)1＜t≤2時(shí)，S=﹣ t2+3t﹣ =﹣ （t﹣3）2+4，由于未知數(shù)的取值范圍在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，且拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下；

∴當(dāng)t=2時(shí)，函數(shù)有最大值，且值為 S=﹣ +4= ＞2．

綜上，當(dāng)t=2秒時(shí)，S有最大值，最大值為

（4）

解：

由（2）知：點(diǎn)P（1，﹣2）．假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M；

①當(dāng)AM PN時(shí)，點(diǎn)N、P的縱坐標(biāo)相同，即點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為﹣2，代入拋物線(xiàn)的解析式中有：

x2﹣2x﹣3=﹣2，解得 x=1± ；

∴AM=NP= ，

∴M1（﹣ ﹣1，0）、M2（ ﹣1，0）．

②當(dāng)AN PM時(shí)，平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)PN、AM互相平分；

設(shè)M（m，0），則 N（m﹣2，2），代入拋物線(xiàn)的解析式中，有：

（m﹣2）2﹣2（m﹣2）﹣3=2，解得 m=3± ；

∴M3（3﹣ ，0）、M4（3+ ，0）．

綜上，存在符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為：

M1（﹣ ﹣1，0）、M2（ ﹣1，0）、M3（3﹣ ，0）、M4（3+ ，0）．

【解析】（1）首先由OC、OA的數(shù)量關(guān)系確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式．（2）由（1）的拋物線(xiàn)解析式可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，而點(diǎn)C的坐標(biāo)已經(jīng)求得，由待定系數(shù)法求解即可．（3）①首先要明確正方形ODEF和△OBC重合部分的形狀：當(dāng)點(diǎn)D在△OBC內(nèi)部時(shí)，兩者的重合部分是矩形；當(dāng)點(diǎn)D在△OBC外部時(shí)，兩者的重合部分是五邊形，其面積可由正方形的面積減去△DGH的面積（G、H分別為ED、OD和線(xiàn)段BC的交點(diǎn)）．在判斷t的取值范圍時(shí)，要注意一個(gè)“關(guān)鍵點(diǎn)”：點(diǎn)D位于線(xiàn)段BC上時(shí)．②根據(jù)①的函數(shù)性質(zhì)即可得到答案，要注意未知數(shù)的取值范圍．（4）若存在以A、M、N、P為頂點(diǎn)的平行四邊形，那么應(yīng)分：AM PN或AN PM兩種情況，由于AM在x軸上，結(jié)合平行四邊形的特點(diǎn)可知：無(wú)論哪種情況，點(diǎn)N到x軸的距離都等于點(diǎn)P到x軸的距離，根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)可確定點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)圖象的平移，需要了解平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點(diǎn)（h,k）（2）對(duì)x軸左加右減；對(duì)y軸上加下減才能得出正確答案．