Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE．(正方形四條邊都相等，四個(gè)角都是直角)

1.我們探究下列圖中線(xiàn)段BG、線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線(xiàn)的位置關(guān)系：

(1)猜想圖1中線(xiàn)段BG和線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度和位置關(guān)系：______________．

(2)將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度a，得到如圖2.如圖3情形．請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量等方法判斷上述猜想是否仍然成立：_______（成立、不成立）若成立，請(qǐng)你選取圖2或圖3中的一種情況說(shuō)明你的判斷．

Answer 1

【答案】（1）BG=DE，BG⊥DE；（2）成立，證明見(jiàn)詳解.

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，顯然三角形BCG順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°即可得到三角形DCE，從而判斷兩條直線(xiàn)之間的關(guān)系；
（2）結(jié)合正方形的性質(zhì)，根據(jù)SAS仍然能夠判定△BCG≌△DCE，從而證明結(jié)論．

解：（1）BG=DE，BG⊥DE；
∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，

∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
BC=DC∠BCG=∠DCE CG=CE，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE；
延長(zhǎng)BG交DE于點(diǎn)H，

∵△BCG≌△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∠CBG+∠BGC=90°，
∴∠CDE+∠DGH=90°，
∴∠DHG=90°，
∴BH⊥DE，即BG⊥DE；
（2）BG=DE，BG⊥DE仍然成立，
在圖（2）中證明如下
∵四邊形ABCD、四邊形CEFG都是正方形
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG≌△DCE（SAS）
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°
∴∠CDE+∠DHO=90°
∴∠DOH=90°
∴BG⊥DE．