【題目】已知一次函數(shù)y=-x+6的圖象與坐標軸交于A、B點(如圖),AE平分∠BAO,交x軸于點E.


(1)求點B的坐標;

(2)求直線AE的表達式;

(3)過點B作BF⊥AE,垂足為F,連接OF,試判斷△OFB的形狀,并求△OFB的面積.

【答案】(1)B(8,0);(2)直線AE的表達式為y=-2x+6; (3) △OFB為等腰三角形,S△OBF=8.

【解析】試題分析:(1)對于一次函數(shù)y=-x+6,令y=0和x=0求出對應的x與y的值,確定出OA及OB的長,即可確定出B的坐標;

(2)由(1)得出A的坐標,利用勾股定理求出AB的長,過E作EG垂直于AB,由AE為角平分線,利用角平分線定理得到EO=EG,利用HL可得出直角三角形AOE與直角三角形AGE全等,可得出AO=AG,設OE=EG=x,由OB-OE表示出EB,由AB-AG=AB-AO表示出BG,在直角三角形BEG中,利用勾股定理列出關于x的方程,求出方程的解得到x的值,確定出OE的長,得出E的坐標,設直線AE的解析式為y=kx+b(k≠0),將A和E的坐標代入,得到關于k與b的方程組,求出方程組的解得到k與b的值,即可得到直線AE的解析式;

(3)延長BF與y軸交于K點,由AF為角平分線得到一對角相等,再由AF與BF垂直得到一對直角相等,以及AF為公共邊,利用ASA得出三角形AKF與三角形ABF全等,可得出AK=AB,利用三線合一得到F為BK的中點,在直角三角形OBK中,利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OF為BK的一半,即OF=BF,過F作FH垂直于x軸于H點,利用三線合一得到H為OB的中點,由OB的長求出OH的長,即為F的橫坐標,將求出的橫坐標代入直線AE解析式中求出對應的縱坐標,即為HF的長,以OB為底,F(xiàn)H為高,利用三角形的面積公式即可求出三角形BOF的面積;

試題解析:1)對于y=- x+6,

x=0時,y=6;當y=0時,x=8,

∴OA=6,OB=8,

Rt△AOB中,根據(jù)勾股定理得:AB=10,

A(0,6),B(8,0);

(2)過點EEG⊥AB,垂足為G

∵AE平分∠BAO,EO⊥AO,EG⊥AG,

∴EG=OE,

RtAOERtAGE中,

∴Rt△AOE≌Rt△AGE(HL),

∴AG=AO,

OE=EG=x,則有BE=8-x,BG=AB-AG=10-6=4,

Rt△BEG中,EG=x,BG=4,BE=8-x,

根據(jù)勾股定理得:x2+42=(8-x)2

解得:x=3,

∴E(3,0),

設直線AE的表達式為y=kx+b(k≠0),

A0,6),E30)代入y=kx+b得: ,解得

則直線AE的表達式為y=-2x+6;

(3)延長BFy軸于點K,

∵AE平分∠BAO,

∴∠KAF=∠BAF,

BF⊥AE,

∴∠AFK=∠AFB=90°

∵AF=AF

∴△AFK≌△AFB,

∴FK=FB,即FKB的中點,

∵△BOK為直角三角形,

OF= BK=BF

∴△OFB為等腰三角形,

過點FFH⊥OB,垂足為H(如圖2所示),

∵OF=BF,F(xiàn)H⊥OB,

∴OH=BH=4,

∴F點的橫坐標為4,

F(4,y),將F(4,y)代入y=-2x+6,得:y=-2,

FH=|-2|=2,

SOBF= OBFH= ×8×2=8;

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