【題目】已知一次函數(shù)y=-x+6的圖象與坐標軸交于A、B點(如圖),AE平分∠BAO,交x軸于點E.
(1)求點B的坐標;
(2)求直線AE的表達式;
(3)過點B作BF⊥AE,垂足為F,連接OF,試判斷△OFB的形狀,并求△OFB的面積.
【答案】(1)B(8,0);(2)直線AE的表達式為y=-2x+6; (3) △OFB為等腰三角形,S△OBF=8.
【解析】試題分析:(1)對于一次函數(shù)y=-x+6,令y=0和x=0求出對應的x與y的值,確定出OA及OB的長,即可確定出B的坐標;
(2)由(1)得出A的坐標,利用勾股定理求出AB的長,過E作EG垂直于AB,由AE為角平分線,利用角平分線定理得到EO=EG,利用HL可得出直角三角形AOE與直角三角形AGE全等,可得出AO=AG,設OE=EG=x,由OB-OE表示出EB,由AB-AG=AB-AO表示出BG,在直角三角形BEG中,利用勾股定理列出關于x的方程,求出方程的解得到x的值,確定出OE的長,得出E的坐標,設直線AE的解析式為y=kx+b(k≠0),將A和E的坐標代入,得到關于k與b的方程組,求出方程組的解得到k與b的值,即可得到直線AE的解析式;
(3)延長BF與y軸交于K點,由AF為角平分線得到一對角相等,再由AF與BF垂直得到一對直角相等,以及AF為公共邊,利用ASA得出三角形AKF與三角形ABF全等,可得出AK=AB,利用三線合一得到F為BK的中點,在直角三角形OBK中,利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OF為BK的一半,即OF=BF,過F作FH垂直于x軸于H點,利用三線合一得到H為OB的中點,由OB的長求出OH的長,即為F的橫坐標,將求出的橫坐標代入直線AE解析式中求出對應的縱坐標,即為HF的長,以OB為底,F(xiàn)H為高,利用三角形的面積公式即可求出三角形BOF的面積;
試題解析:(1)對于y=- x+6,
當x=0時,y=6;當y=0時,x=8,
∴OA=6,OB=8,
在Rt△AOB中,根據(jù)勾股定理得:AB=10,
則A(0,6),B(8,0);
(2)過點E作EG⊥AB,垂足為G
∵AE平分∠BAO,EO⊥AO,EG⊥AG,
∴EG=OE,
在Rt△AOE和Rt△AGE中,
∴Rt△AOE≌Rt△AGE(HL),
∴AG=AO,
設OE=EG=x,則有BE=8-x,BG=AB-AG=10-6=4,
在Rt△BEG中,EG=x,BG=4,BE=8-x,
根據(jù)勾股定理得:x2+42=(8-x)2,
解得:x=3,
∴E(3,0),
設直線AE的表達式為y=kx+b(k≠0),
將A(0,6),E(3,0)代入y=kx+b得: ,解得
則直線AE的表達式為y=-2x+6;
(3)延長BF交y軸于點K,
∵AE平分∠BAO,
∴∠KAF=∠BAF,
又BF⊥AE,
∴∠AFK=∠AFB=90°
∵AF=AF
∴△AFK≌△AFB,
∴FK=FB,即F為KB的中點,
又∵△BOK為直角三角形,
∴OF= BK=BF,
∴△OFB為等腰三角形,
過點F作FH⊥OB,垂足為H(如圖2所示),
∵OF=BF,F(xiàn)H⊥OB,
∴OH=BH=4,
∴F點的橫坐標為4,
設F(4,y),將F(4,y)代入y=-2x+6,得:y=-2,
FH=|-2|=2,
則S△OBF= OBFH= ×8×2=8;
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【題目】如圖,有兩個長度相同的滑梯靠在一面墻上.已知左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等,則這兩個滑梯與地面夾角∠ABC與∠DFE的度數(shù)和是( )
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
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【題目】如圖.從下列四個條件:①BC=B′C,②AC=A′C,③∠A′CA=∠B′CB,④AB=A′B′中,任取三個為條件,余下的一個為結論,則最多可以構成正確的結論的個數(shù)是( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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【題目】
(1)A,B間的距離是;
(2)若點C也是數(shù)軸上的點,C到B的距離是C到原點O的距離的3倍,求C對應的數(shù);
(3)若當電子P從B點出發(fā),以6個單位長度/秒的速度向左運動,同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā),以4個單位長度/秒的速度向左運動,設兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的D點相遇,那么D點對應的數(shù)是多少?
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【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,B點坐標為(3,0),與y軸交于點C(0,﹣3)
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P在拋物線位于第四象限的部分上運動,當四邊形ABPC的面積最大時,求點P的坐標和四邊形ABPC的最大面積.
(3)直線l經(jīng)過A、C兩點,點Q在拋物線位于y軸左側的部分上運動,直線m經(jīng)過點B和點Q,是否存在直線m,使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似?若存在,求出直線m的解析式,若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點D是AB的中點,點E是AB邊上一點.
(1)直線BF垂直于CE于點F,交CD于點G(如圖l),求證:AE=CG;
(2)直線AH垂直于CE,垂足為H,交CD的延長線于點M(如圖2),找出圖中與BE相等的線段(不需要添加輔助線),并說明理由.
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【題目】下列說法正確的是
A. “明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的時間都在降雨
B. “拋一枚硬幣正面朝上的概率為”表示每拋2次就有一次正面朝上
C. “彩票中獎的概率為1%”表示買100張彩票肯定會中獎
D. “拋一枚正方體骰子,朝上的點數(shù)為2的概率為”表示隨著拋擲次數(shù)的增加,“拋出朝上的點數(shù)為2”這一事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在附近
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【題目】在平面直角坐標系中,拋物線y=x 2經(jīng)變換后得到拋物線y=x 2+2,則這個變換可以( )
A.向左平移2個單位B.向上平移2個單位
C.向下平移2個單位D.向右平移2個單位
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【題目】已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分線,點D是邊OB上一定點,將三角板的直角頂點P在射線OM上移動,使一直角邊經(jīng)過點D,另一直角與邊OA交于點C.容易證得PC=PD(如圖①)
(1)若另一直角邊與邊OA的反向延長線相交于點C(如圖②),試問PC與PD還會相等嗎?若相等,請予以證明;若不相等,請說明理由;
(2)已知OD=4,三角板在移動過程中,另一直角邊與直線OA,直線OB分別交于點C,E,且以P,D,E為頂點的三角形與OCD相似,試求線段OP的長。
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