【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,B點坐標為(3,0),與y軸交于點C(0,﹣3)
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P在拋物線位于第四象限的部分上運動,當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時,求點P的坐標和四邊形ABPC的最大面積.
(3)直線l經(jīng)過A、C兩點,點Q在拋物線位于y軸左側(cè)的部分上運動,直線m經(jīng)過點B和點Q,是否存在直線m,使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似?若存在,求出直線m的解析式,若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)P點坐標為(, )時,四邊形ABPC的面積最大,最大面積為;(3)存在, .
【解析】試題分析:(1)由B、C兩點的坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式;
(2)連接BC,則△ABC的面積是不變的,過P作PM∥y軸,交BC于點M,設(shè)出P點坐標,可表示出PM的長,可知當(dāng)PM取最大值時△PBC的面積最大,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得P點的坐標及四邊形ABPC的最大面積;
(3)設(shè)直線m與y軸交于點N,交直線l于點G,由于∠AGP=∠GNC+∠GCN,所以當(dāng)△AGB和△NGC相似時,必有∠AGB=∠CGB=90°,則可證得△AOC≌△NOB,可求得ON的長,可求出N點坐標,利用B、N兩的點坐標可求得直線m的解析式.
試題解析:
(1)把B、C兩點坐標代入拋物線解析式可得: ,解得: ,∴拋物線解析式為;
(2)如圖1,連接BC,過Py軸的平行線,交BC于點M,交x軸于點H,
在中,令y=0可得,解得x=﹣1或x=3,∴A點坐標為(﹣1,0),∴AB=3﹣(﹣1)=4,且OC=3,∴S△ABC=ABOC=×4×3=6,∵B(3,0),C(0,﹣3),∴直線BC解析式為y=x﹣3,設(shè)P點坐標為(x,),則M點坐標為(x,x﹣3),∵P點在第四限,∴PM==,∴S△PBC=PMOH+PMHB=M(OH+HB)=PMOB=PM,∴當(dāng)PM有最大值時,△PBC的面積最大,則四邊形ABPC的面積最大,∵PM==,∴當(dāng)x=時,PMmax=,則S△PBC==,此時P點坐標為(, ),S四邊形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=,即當(dāng)P點坐標為(, )時,四邊形ABPC的面積最大,最大面積為;
(3)如圖2,設(shè)直線m交y軸于點N,交直線l于點G,則∠AGP=∠GNC+∠GCN,當(dāng)△AGB和△NGC相似時,必有∠AGB=∠CGB,又∠AGB+∠CGB=180°,∴∠AGB=∠CGB=90°,∴∠ACO=∠OBN,在Rt△AON和Rt△NOB中,∵∠AOC=∠NOB,OC=OB,∠ACO=∠NBO,∴Rt△AON≌Rt△NOB(ASA),∴ON=OA=1,∴N點坐標為(0,﹣1),設(shè)直線m解析式為y=kx+d,把B、N兩點坐標代入可得,解得:,∴直線m解析式為,即存在滿足條件的直線m,其解析式為.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明坐于堤邊垂釣,如圖,河堤的坡角為,長為米,釣竿的傾斜角是,其長為米,若與釣魚線的夾角為,求浮漂與河堤下端之間的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,邊長為4的正方形ABCD中,點E在AB邊上(不與點A,B重合),點F在BC邊上(不與點B,C重合).
第一次操作:將線段EF繞點F順時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點E落在正方形上時,記為點G;
第二次操作:將線段FG繞點G順時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點F落在正方形上時,記為點H;依次操作下去…
(1)圖2中的△EFD是經(jīng)過兩次操作后得到的,其形狀為 ,
(2)若經(jīng)過三次操作可得到四邊形EFGH.
①請判斷四邊形EFGH的形狀為 ,此時AE與BF的數(shù)量關(guān)系是 ;
②以①中的結(jié)論為前提,設(shè)AE的長為x,四邊形EFGH的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若實數(shù)x,y滿足(x2+y2+2)(x2+y2﹣2)=0.則x2+y2的值為( )
A. 1B. 2C. 2 或﹣1D. ﹣2或﹣1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,□ABCD的對角線AC、BD相交于點O,AE=CF.
(1)求證:△BOE≌△DOF;
(2)若BD=EF,連接DE、BF,判斷四邊形EBFD的形狀,并說明理由.
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