Question

反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限的分支上有一點(diǎn)A（3，4），P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
（1）求反比例函數(shù)解析式．
（2）當(dāng)P在什么位置時(shí)，△OPA為等腰三角形，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把A（3，4）代入y=可得到k的值，從而確定反比例函數(shù)解析式；
（2）先計(jì)算出OA=5，然后分類：當(dāng)OA=OP，易得P₁的坐標(biāo)為（-5，0），P₂的坐標(biāo)為（5，0）；當(dāng)AO=AP，易得P₃的坐標(biāo)為（6，0）；當(dāng)PA=PO，作OA的中垂線交OA于C，交x軸于P₄，則OC=，易證Rt△OCP₄∽R(shí)t△ODA，則OP₄：OA=OC：OD，即OP₄：5=：3，得到OP₄=，則P₄（，0）．
解答：解：（1）把A（3，4）代入y=得，4=，
∴k=12，
∴反比例函數(shù)解析式為y=；

（2）如圖：
∵A（3，4），
∴OA==5，
當(dāng)OA=OP，
以O(shè)為圓心，OA為半徑畫(huà)弧交x軸于P₁、P₂，如圖，
∴P₁的坐標(biāo)為（-5，0），P₂的坐標(biāo)為（5，0），
當(dāng)AO=AP，點(diǎn)P₃與點(diǎn)O關(guān)于AD對(duì)稱，
∴P₃的坐標(biāo)為（6，0）；
當(dāng)PA=PO，
作OA的中垂線交OA于C，交x軸于P₄，
則OC=，
∵Rt△OCP₄∽R(shí)t△ODA，
∴OP₄：OA=OC：OD，即OP₄：5=：3，
∴OP₄=，
∴P₄（，0）．
所以P在（-5，0）、（5，0）、（，0）、（6，0）時(shí)，△OPA為等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：反比例函數(shù)y=圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積都等于k；利用相似三角形的判定與性質(zhì)求線段之間的關(guān)系，從而確定某些點(diǎn)的坐標(biāo)；運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和分類討論的思想確定等腰三角形．