Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，點(diǎn)O為AD上一動(dòng)點(diǎn)（4＜OA＜8），以O(shè)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑的圓交邊CD于點(diǎn)M，連接OM，過(guò)點(diǎn)M作⊙O的切線交邊BC于N．

（1）求證：△ODM∽△MCN；
（2）設(shè)DM=x，OA=R，求R關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在動(dòng)點(diǎn)O逐漸向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（OA逐漸增大）的過(guò)程中，△CMN的周長(zhǎng)如何變化？說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵M(jìn)N切⊙O于點(diǎn)M，∴∠OMN=90°，∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°，∴∠OMD=∠MNC，又∵∠D=∠C=90°，∴△ODM∽△MCN

（2）解：在Rt△ODM中，DM=x，設(shè)OA=OM=R，∴OD=AD﹣OA=8﹣R，由勾股定理得：（8﹣R）2+x2=R2，

∴64﹣16R+R2+x2=R2，∴R=

（3）解：∵CM=CD﹣DM=8﹣x，OD=8﹣R=8﹣ ，且有△ODM∽△MCN，∴ ，∴代入得到：CN= ．

同理 ，∴代入得到：MN= ，∴△CMN的周長(zhǎng)=CM+CN+MN=（8﹣x）+ + =（8﹣x）+（x+8）=16，

在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△CMN的周長(zhǎng)始終為16，是一個(gè)定值

【解析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OMN=90°，根據(jù)同角的余角相等得出∠OMD=∠MNC，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠D=∠C=90°，從而判斷出△ODM∽△MCN；
（2）在Rt△ODM中，DM=x，根據(jù)同圓的半徑相等得出OA=OM=R，根據(jù)線段的和差得出OD=AD﹣OA=8﹣R，根據(jù)勾股定理得出方程（8﹣R）2+x2=R2，變形方程得出R關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）CM=CD﹣DM=8﹣x，OD=8﹣R，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出=,代入得出CN,同理得出MN，根據(jù)△CMN的周長(zhǎng)=CM+CN+MN列出代數(shù)式，化簡(jiǎn)合并就知道答案了。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，以及對(duì)切線的性質(zhì)定理的理解，了解切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．