Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與直線AB相交于A（﹣3，0），B（0，3）兩點(diǎn)．

（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設(shè)C是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，求使∠CBA=90°的點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△APB的面積等于3？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：把點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c得：

，

解得：

∴拋物線的解析式是y=﹣x2﹣2x+3；

（2）

如圖1：過點(diǎn)B作CB⊥AB，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CE⊥y軸，垂足為點(diǎn)E，

∵y=﹣x2﹣2x+3，

∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=﹣1，

∴CE=1，

∵AO=BO=3，

∴∠ABO=45°，

∴∠CBE=45°，

∴BE=CE=1，

∴OE=OB+BE=4，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，4）；

（3）

假設(shè)在在拋物線上存在點(diǎn)P，使得△APB的面積等于3，如圖2：

連接PA，PB，過P作PD⊥AB于點(diǎn)D，作PF∥y軸交AB于點(diǎn)F，在Rt△OAB中，易求AB==，

∵S△APB=3，

∴PD=

∵∠PFD=∠ABO=45°，

∴PF=2，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2﹣2m+3），

∵A（﹣3，0），B（0，3），

∴直線AB的解析式為y=x+3，

∴可設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m+3），

①當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，

可得：﹣m2﹣2m+3=m+3+2，

解得：m=﹣1或﹣2，

∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，4）或（﹣2，3），

②當(dāng)點(diǎn)P在直線AB下方時(shí)，

可得：﹣m2﹣2m+3=m+3﹣2，

解得：m=或，

∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）或（，）

綜上可知符合條件的點(diǎn)P有4個(gè)，坐標(biāo)分別為：（﹣1，4）或（﹣2，3）或（，）或（，）．

【解析】（1）把點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，3）兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式求出b和c的值即可；
（2）過點(diǎn)B作CB⊥AB，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CE⊥y軸，垂足為點(diǎn)E，易求點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，再求出OE的長，即可得到點(diǎn)C的縱坐標(biāo)；
（3）假設(shè)在在拋物線上存在點(diǎn)P，使得△APB的面積等于3，連接PA，PB，過P作PD⊥AB于點(diǎn)D，作PF∥y軸交AB于點(diǎn)F，在Rt△OAB中，易求AB==3，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2﹣2m+3），設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m+3），再分兩種情況①當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在直線AB下方時(shí)分別討論求出符合條件點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．