Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，直線與軸相交于點(diǎn)

（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含的式子表示）；

（2）的長(zhǎng)是否與值有關(guān)，說明你的理由；

（3）設(shè)，求的取值范圍；

（4）以為斜邊，在直線的左下方作等腰直角三角形.設(shè)，直接寫出關(guān)于的函數(shù)解析式及自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）頂點(diǎn)D（﹣1，-4a）；（2）OE=3，OE的長(zhǎng)與a值無關(guān)，理由見解析；（3）；（4）n=﹣m﹣1（m＜1），理由見解析．

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，得，從而得y=ax2+2ax-3a，進(jìn)而得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）由y=ax2+2ax﹣3a，得C(0，﹣3a),D(﹣1，﹣4a)，從而得點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可得到結(jié)論；

（3）當(dāng)β=45°時(shí)，OC=OE=3，求出a=﹣1，當(dāng)β=60°時(shí)，OC=3，求出a=﹣，進(jìn)而即可求解；

（4）作PM⊥對(duì)稱軸于M，PN⊥AB于N，易證△DPM≌△EPN，得PM=PN，DM=EN，結(jié)合D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，，即可得到結(jié)論．

（1）把，代入函數(shù)，得：

，解得：，

∴二次函數(shù)解析式為：y=ax2+2ax-3a，

∴頂點(diǎn)D(﹣1，-4a)；

（2）OE的長(zhǎng)與a值無關(guān)，理由如下：

∵y=ax2+2ax﹣3a，

∴C(0，﹣3a),

∵D(﹣1，﹣4a)，

∴直線CD的解析式為：y=ax﹣3a，

∴當(dāng)y=0時(shí)，x=3，

∴E(3，0)，

∴OE=3，

∴OE的長(zhǎng)與a值無關(guān)；

（3）當(dāng)β=45°時(shí)，OC=OE=3，

∴﹣3a=3，

∴a=﹣1，

當(dāng)β=60°時(shí)，在Rt△OCE中，OC=OE=3，

∴﹣3a=3，

∴a=﹣，

∴45°≤β≤60°時(shí)，a的取值范圍為：；

（4）n=﹣m﹣1，m＜1，理由如下：

作PM⊥對(duì)稱軸于M，PN⊥AB于N．

∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，

∴∠DPM=∠EPN，

∴△DPM≌△EPN（AAS），

∴PM=PN，DM=EN．

∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，，

∴由PM=PN，得：-1-n=m，

∴n=﹣m﹣1，

當(dāng)頂點(diǎn)D在x軸上時(shí)，P(1，﹣2)，此時(shí)m的值1．

∵拋物線的頂點(diǎn)在第二象限，

∴m＜1，

∴n=﹣m﹣1（m＜1）．