Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC位矩形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C在x軸上，OA，OC的長(zhǎng)滿足|OA-5|+（OC-13）²=0．
（1）如圖1，在OA上取一點(diǎn)E，將△EOC沿EC折疊，使O點(diǎn)落在AB邊上的D點(diǎn)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖2，在OA、OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)M、N，將△MON沿MN折疊，使O點(diǎn)落在AB邊上的F點(diǎn)，過(guò)F作G∥y軸交MN于點(diǎn)T，交OC于點(diǎn)G，求證：TG=AM；
（3）在（2）的條件下，設(shè)T（x，y），探究y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（4）在（3）的條件下，當(dāng)x=3時(shí)，點(diǎn)Q在坐標(biāo)軸上，直線MN上存在點(diǎn)P，使以M、F、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）在Rt△DBC中，根據(jù)DB=$\sqrt{D{C}^{2}-B{C}^{2}}$，即可解決問(wèn)題．
（2）只要證明OM=MF，MF=FT即可．
（3）如圖3中，連接OT，在Rt△OTG中利用勾股定理即可解決問(wèn)題．
（4）分MF為對(duì)角線，MF為邊兩種情形討論即可．

解答 解：（1）如圖1中，

∵|OA-5|+（OC-13）²=0，
又∵|OA-5|≥0，（OC-13）²≥0，
∴OA=5，OC=13，
∵△DEC是由△OEC翻折得到，
∴CD=OC=13，
在Rt△DBC中，DB=$\sqrt{D{C}^{2}-B{C}^{2}}$=12，
∴AD=1，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)（1，5）．

（2）如圖2中，

∵M(jìn)F=MO，∠FMN=∠OMN，
∵OM∥ET，
∴∠OMT=∠FTM，
∴∠FMT=∠FTM，
∴FM=FT，
∴OM=FT，∵OA=FG，
∴AM=TG．

（3）如圖3中，連接OT，

由（2）可得OT=FT，
由勾股定理可得x²+y²=（5-y）²，
得y=-$\frac{1}{10}$x²+$\frac{5}{2}$．
結(jié)合（1）可得AF=OG=1時(shí)，x最小，從而x≥1，
當(dāng)MN恰好平分∠OAB時(shí)，AF最大即x最大，
此時(shí)G點(diǎn)與N點(diǎn)重合，四邊形AONF為正方形，
故x最大為5．
從而x≤5，1≤x≤5．

（4）如圖4中，x=3時(shí)，y=$\frac{8}{5}$，即點(diǎn)T坐標(biāo)（3，$\frac{8}{5}$）．

∴OM=FT=5-$\frac{8}{5}$=$\frac{17}{5}$，
①當(dāng)MF為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)Q與T重合，PM=FT=$\frac{17}{5}$，
∴OP=$\frac{34}{5}$，
∴此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)（0，$\frac{34}{5}$）．
②FM為邊時(shí)，∵四邊形MFQP是平行四邊形，
又∵四邊形FMOT是平行四邊形，
∴點(diǎn)Q與T重合，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（0，0），
綜上所述，以M、F、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)Q坐標(biāo)（0，0）或（0，$\frac{34}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、翻折變換、勾股定理、平行四邊形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．