Question

12．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接BD．
（1）求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若$\frac{BD}{DE}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，AD=4$\sqrt{5}$，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，欲證明DE是⊙O的切線(xiàn)，只要證明OD⊥DE即可．
（2）利用相似三角形的判定和性質(zhì)得出AB，利用勾股定理求出BD，進(jìn)而解答即可．

解答 （1）證明：連接OD．
∵OA=OD，

∴∠BAD=∠ODA．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC．
∴∠ODA=∠DAC．
∴OD∥AE．
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）∵OB是直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠ADB=∠E．
又∵∠BAD=∠DAC，
∴△ABD∽△ADE．
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BD}{DE}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
∴AB=10．
由勾股定理可知 $BD=2\sqrt{5}$．
連接DC，
∴$BD=DC=2\sqrt{5}$．
∵A，C，D，B四點(diǎn)共圓．
∴∠DCE=∠B．
∴△DCE∽△ABD．
∴$\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE}$．
∴CE=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線(xiàn)的判定、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住切線(xiàn)的判定方法，學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題，中考�？碱}型．