Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，），頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H的直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在y軸的右側(cè)．

（1）求a的值及點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)直線l將四邊形ABCD分為面積比為3：7的兩部分時(shí)，求直線l的函數(shù)表達(dá)式；

（3）當(dāng)點(diǎn)P位于第二象限時(shí)，設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)N在拋物線上，則以DP為對(duì)角線的四邊形DMPN能否為菱形？若能，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），A（－4，0），B（2，0）；（2）y＝2x＋2或；（3）存在，N（－， 1）．

【解析】

試題分析：（1）把點(diǎn)C代入拋物線解析式即可求出a，令y=0，列方程即可求出點(diǎn)A、B坐標(biāo)．

（2）先求出四邊形ABCD面積，分兩種情形：①當(dāng)直線l邊AD相交與點(diǎn)M1時(shí)，根據(jù)S△AHM1＝×10＝3，求出點(diǎn)M1坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．②當(dāng)直線l邊BC相交與點(diǎn)M2時(shí)，同理可得點(diǎn)M2坐標(biāo)．

（3）設(shè)P（，）、Q（，）且過(guò)點(diǎn)H（﹣1，0）的直線PQ的解析式為y=kx+b，得到b=k，利用方程組求出點(diǎn)M坐標(biāo)，求出直線DN解析式，再利用方程組求出點(diǎn)N坐標(biāo)，列出方程求出k，即可解決問(wèn)題．

試題解析：（1）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，），∴a﹣3=，解得：，∴

當(dāng)y=0時(shí)，有，∴ ，，∴A（﹣4，0），B（2，0）．

（2）∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，），D（﹣1，﹣3）

∴S四邊形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC==10．

從面積分析知，直線l只能與邊AD或BC相交，所以有兩種情況：

①當(dāng)直線l邊AD相交與點(diǎn)M1時(shí)，則S△AHM1＝×10＝3，∴×3×（－yM1）＝3，∴yM1＝－2，點(diǎn)M1（﹣2，﹣2），過(guò)點(diǎn)H（﹣1，0）和M1（﹣2，﹣2）的直線l的解析式為y=2x+2．

②當(dāng)直線l邊BC相交與點(diǎn)M2時(shí)，同理可得點(diǎn)M2（，﹣2），過(guò)點(diǎn)H（﹣1，0）和M2（，﹣2）的直線l的解析式為．

綜上所述：直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=2x+2或．

（3）設(shè)P（，）、Q（，）且過(guò)點(diǎn)H（﹣1，0）的直線PQ的解析式為y=kx+b，∴﹣k+b=0，∴b=k，∴y=kx+k．

由，∴，∴，，∵點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式的點(diǎn)M（，）．

假設(shè)存在這樣的N點(diǎn)如圖，直線DN∥PQ，設(shè)直線DN的解析式為y=kx+k﹣3，由，解得：， ， ∴N（，）．

∵四邊形DMPN是菱形，∴DN=DM，∴，整理得：，，∵ ＞0，∴，解得，∵k＜0，∴，∴P（－，6），M（－，2），N（－， 1），∴PM=DN=，∵PM∥DN，∴四邊形DMPN是平行四邊形，∵DM=DN，∴四邊形DMPN為菱形，∴以DP為對(duì)角線的四邊形DMPN能成為菱形，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣，1）．