Question

8．如圖，正方形ABCD的邊長為1cm，AC是對角線，AE平分∠BAC，EF⊥AC于F．
（1）求證：BE=EF．
（2）求tan∠EAF的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等，可得BE=EF；
（2）根據(jù)勾股定理，計算正方形的對角線的長，減去AF的長求得CF的長，最后計算tan∠EAF的值．

解答 證明：（1）∵在正方形ABCD中，EF⊥AC，AB⊥BC，
∴∠AFE=∠ABE=90°；  
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE；　 
又∵AE=AE，
∴Rt△BAE≌Rt△FAE，
故AB=AF，BE=FE．

（2）∵正方形ABCD，
∴在Rt△CEF中，∠ECF=45°，
故FE=CF，
∴BE=CF，
∵正方形ABCD的邊長為1 cm，對角線AC=$\sqrt{2}$cm，
由（1）可得，BE=EF=CF=AC-AF=AC-AB=$\sqrt{2}$-1（cm），
∴$tan∠EAF=tan∠BAE=\sqrt{2}-1$．

點評 本題主要考查正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定，掌握正方形的四邊相等、對角線平分每一對對角是解題的關鍵．