Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6cm，動點P從點C出發(fā)以1cm/s的速度沿CA勻速運動，同時動點Q從點A出發(fā)以cm/s的速度沿AB勻速運動，當點P到達點A時，點P、Q同時停止運動，設運動時間為t（s）

（1）當t＝3時，線段PQ的長為　 　cm；

（2）是否存在某一時刻t，使點B在線段PQ的垂直平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，以PC為邊，往CB方向作正方形CPMN，設四邊形CPMN與Rt△ABC重疊部分的面積為S，求S關于t的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）存在，理由見解析, t＝（12﹣6）s；（3）S＝t2（0＜t≤3）或S＝﹣t2+12t﹣18（3＜t≤6）

【解析】

（1）由題意得：當t＝3時，PC＝3＝AC，AQ＝3＝AB，即P、Q分別為AC、AB的中點，得出PQ為△ABC的中位線，得出PQ＝BC＝3即可；

（2）由勾股定理得出方程，解方程即可；

（3）分兩種情況，由正方形面積公式和三角形面積公式，即可得出答案．

（1）∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，

∴AB＝＝6，

當t＝3時，PC＝3＝AC，AQ＝3＝AB，

即P、Q分別為AC、AB的中點，

∴PQ為△ABC的中位線，

∴PQ＝BC＝3（cm）；

故答案為：3；

（2）存在．理由如下：

連接BP．如圖1，

在Rt△ACB中，∵AC＝BC＝6，∠C＝90°，

∴AB＝6，

若點B在線段PQ的垂直平分線上，

則BP＝BQ，

∵AQ＝t，CP＝t，

∴BQ＝6﹣t，

∵PB2＝62+t2，

∴（6﹣t）2＝62+t2，

整理得：t2﹣24t+36＝0，

解得：t＝12﹣6或t＝12+6（舍去），

∴t＝（12﹣6）s時，點B在線段PQ的垂直平分線上．

（3）分兩種情況：

①當0＜t≤3時，如圖2：

S＝正方形CPMN的面積＝t2；

②當3＜t≤6時，如圖3：

∵PC＝t，AC＝6，

∴AP＝6﹣t

∵∠C＝∠APM＝∠M＝90°，∠A＝∠EFM＝45°，

∴△APE∽△FME∽△ACB，并且都是等腰直角三角形

∴PE＝AP＝6﹣t，

∴EM＝FM＝t﹣（6﹣t）＝2t﹣6，

∴S＝S正方形CPMN﹣SRt△EFM ＝t2﹣（2t﹣6）2＝﹣t2+12t﹣18；

綜上所述，S關于t的函數關系式為：S＝t2（0＜t≤3）或S＝﹣t2+12t﹣18（3＜t≤6）．