Question

【題目】如果兩個(gè)角之差的絕對(duì)值等于60°，則稱這兩個(gè)角互為“互優(yōu)角”，(本題中所有角都是指大于0°且小于180°的角)．

(1)若∠1和∠2互為“互優(yōu)角”，當(dāng)∠1=90°時(shí)，則∠2=_____°；

(2)如圖1，將一長(zhǎng)方形紙片沿著EP對(duì)折(點(diǎn)P在線段BC上，點(diǎn)E在線段AB上)使點(diǎn)B落在點(diǎn)若與互為“互優(yōu)角”，求∠BPE的度數(shù)；

(3)再將紙片沿著PF對(duì)折(點(diǎn)F在線段CD或AD上)使點(diǎn)C落在C′：

①如圖2，若點(diǎn)E、C′、P在同一直線上，且與互為“互優(yōu)角”，求∠EPF的度數(shù)(對(duì)折時(shí)，線段落在∠EPF內(nèi)部)；

②若∠B′PC′與∠EPF互為“互優(yōu)角”，則∠BPE求∠CPF應(yīng)滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)果即可)．

Answer 1

【答案】（1）30°或150；（2）40°或80°；（3）①∠EPF=80°，②∠EPF=40°．

【解析】

（1）按照“互優(yōu)角的定義，求出∠2即可；

（2）根據(jù)∠EPB'+∠EPB'+∠EPB'+60°=180°解答即可；

（3）①由∠BPE+∠EPB'+∠B'PF+∠FPC=180°解答即可；

②∠B'PC'=∠FPC，∠EPB=∠EPF，∠EPB+∠EPF+∠FPC=180°解答即可．

解：（1）∵∠1和∠2互為“互優(yōu)角

∴|∠1-∠2|=60°

∵∠1＝90°

∴90°-∠2=60°或90°-∠2=-60°

解得：∠2=30°或150°

故答案為：30°或150．

（2）∵∠EPB'與∠B'PC互為“互優(yōu)角”

當(dāng)∠EPB'<∠B'PC時(shí)，∠B'PC-∠EPB'=60°

∴∠B'PC=∠EPB'+60°

∵△BEP翻折得△B'EP

∴∠EPB=∠EPB'

∵∠EPB+∠EPB'+∠B'PC=180°

∴∠EPB'+∠EPB'+∠EPB'+60°=180

解得：∠EPB'=40°

當(dāng)∠EPB'>∠B'PC時(shí)，∠B'PC-∠EPB'=60°，可得∠EPB'=80°

故∠EPB'的值為40°或80°；

（3）①由題意得：點(diǎn)E、C、P在同一直線上，

∵∠B'PC'與∠EPF互為“互優(yōu)角

∴∠BPC<∠EPF，∠EPF-∠B'PC=60°=∠B'PF

∵∠BPE=∠B'PC=∠EPF-60°，∠FPC=∠EPF

∴∠BPE+∠EPB'+∠B'PF+∠FPC=180°

∴∠EPF-60°+∠EPF+∠EPF=180°，得∠EPF=80°；

②由題意得：點(diǎn)E、C、P在同一直線上，

∵∠B'PC'與∠EPF互為“互優(yōu)角

∴∠B'P'C-∠EPF=60°，得∠B'P'C=60°+∠EPF

∵∠B'PC'=∠FPC，∠EPB=∠EPF，∠EPB+∠EPF+∠FPC=180°

∴2∠EPF+60°+∠EPF=180°，解得∠EPF=40°．

故∠EPF的度數(shù)為40°．