Question

【題目】一次函數的圖像與軸、軸分別交于點、，以為邊在第二象限內作等邊．

（1）求點的坐標；

（2）在第二象限內有一點，使，求點的坐標；

（3）將沿著直線翻折，點落在點處；再將繞點順時針方向旋轉15°，點落在點處，過點作軸于．求的面積．

Answer 1

【答案】（1）C（-2，4）；（2）M（-5，1）；（3）2.

【解析】

（1）先求得A、B的坐標，勾股定理求出AB后可得到∠BAO=30°，則∠CAO=90°，從而可得到點C的坐標；
（2）過點C作CM∥AB，則S△ABM=S△ABC．設直線CM的解析式為，將點C的坐標代入求得b的值，然后將y=1代入MC的解析式可求得點M的橫坐標；
（3）先判斷出折疊后點C落在y軸上，即E在y軸上.在EG上取一點H，使EH=FH，連接FH.先求出∠FHG=30°，設FG=a，進而表示出EG，用勾股定理建立方程求出a2，最后用面積公式即可得出結論．

解：（1）當x=0時，y=2，
∴B（0，2）．
當y=0時，x=-2 ，

∴A（-2，0）．
∴OB=2，OA=2，

∴AB=4，

∴∠BAO=30°，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠CAB=60°，AC= AB=4．
∴∠CAO=90°．
∴C（-2，4）．

（2）如圖1，過點C作CM∥AB．

∵CM∥AB，
∴S△ABM=S△ABC．
設直線CM的解析式為，

將點C的坐標代入得，

解得b=6．
∴直線CM的解析式為，

將y=1代入MC的解析式得：，

解得：x=-5

∴M（-5，1）．

（3）如圖2，

由（1）知A（-2，0），B（0，2），
∵△ABC為等邊三角形，AB=4，
∴∠CBA=60°，BC=AB=4，

又∠ABO=60°，

∴折疊后點C落在y軸上，即E在y軸上
由折疊知，BE=BC=4，
由旋轉知，EF=BE=4，∠BEF=15°，
在EG上取一點H，使EH=FH，連接FH，
∴∠FHG=30°，
設FG=a，
∴HG=a，FH=2a，
∴EH=2a，
∴EG=EH+HG=2a+a=（2+）a，
在Rt△EFG中，根據勾股定理得，a2+[（2+）a]2=16，
∴a2== ，

∴S△EFG EG×FG

=（2+）a×a

=

=2.