Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（4，1）的拋物線交y軸于點(diǎn)A，交x軸于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知C點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于A，C兩點(diǎn)之間．問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAC的面積最大？求出△PAC的最大面積；
（3）連接AB，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，以點(diǎn)C為圓心的圓與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l相切，先補(bǔ)全圖形，再判斷直線BD與⊙C的位置關(guān)系并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)為（4，1），

∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣4）2+1．

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（6，0），

∴0=a（6﹣4）2+1，解得a=﹣ ，
∴y=﹣ （x﹣4）2+1=﹣ x2+2x﹣3．

所以拋物線的解析式為y=﹣ x2+2x﹣3．

（2）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線交AC于點(diǎn)Q，

∵A（0，﹣3），C（6，0），

∴直線AC解析式為y= x﹣3．

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣ m2+2m﹣3），

則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m， m﹣3），

∴PQ=﹣ m2+2m﹣3﹣（ m﹣3）=﹣ m2+ m，

∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ= ×（﹣ m2+ m）×6=﹣ （m﹣3）2+ ，

∴當(dāng)m=3時(shí)，△PAC的面積最大為 ．

∵當(dāng)m=3時(shí)，﹣ m2+2m﹣3= ，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3， ）．

綜上：P點(diǎn)的位置是（3， ），△PAC的最大面積是 ．

（3）解：判斷直線BD與⊙C相離．

證明：令﹣ （x﹣4）2+1=0，解得x1=2，x2=6，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)（2，0）．

又∵拋物線交y軸于點(diǎn)A，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），

∴AB= ．

設(shè)⊙C與對(duì)稱(chēng)軸l相切于點(diǎn)F，則⊙C的半徑CF=2，

作CE⊥BD于點(diǎn)E，如圖2，則∠BEC=∠AOB=90°．

∵∠ABD=90°，

∴∠CBE=90°﹣∠ABO．

又∵∠BAO=90°﹣∠ABO，

∴∠BAO=∠CBE．

∴△AOB∽△BEC，

∴ ，

∴ ，

∴CE= ＞2．

∴直線BD與⊙C相離．

【解析】（1）由于本題告訴了拋物線的頂點(diǎn)，故設(shè)頂點(diǎn)式，然后又把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求出二次項(xiàng)系數(shù)a的值，從而得出函數(shù)解析式；
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線交AC于點(diǎn)Q，由A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，從而表示出PQ的長(zhǎng)度，根據(jù)S△PAC=S△PAQ+S△PCQ，建立出函數(shù)關(guān)系式，并化為頂點(diǎn)式知當(dāng)m=3時(shí)，△PAC的面積最大，然后把m=3代入P點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式，從而得出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）判斷直線BD與⊙C相離．首先找到B、A點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理得出AB的長(zhǎng)，設(shè)⊙C與對(duì)稱(chēng)軸l相切于點(diǎn)F，則⊙C的半徑CF=2，作CE⊥BD于點(diǎn)E，如圖2，則∠BEC=∠AOB=90°，然后根據(jù)同角的余角相等得出∠BAO=∠CBE，進(jìn)而判斷出△AOB∽△BEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得性質(zhì)得出CE的長(zhǎng)從而根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系作出判斷即可。
【考點(diǎn)精析】掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．