Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A(－1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，在其對(duì)稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，以B，C，D，M為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

專題∶壓軸題． 　　分析∶(1)由于A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，故設(shè)一般式解答和設(shè)交點(diǎn)式(兩點(diǎn)式)解答均可． 　　(2)分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論．運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式建立起P點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，再結(jié)合拋物線解析式即可求解． 　　(3)根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，利用勾股定理求出相關(guān)邊長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理判斷出直角梯形中的直角，便可解答． 　　解答∶解∶(1)∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0，3)， 　　∴設(shè)拋物線解析式為y＝ax2＋bx＋3(a≠0)， 　　根據(jù)題意，得， 　　解得， 　　∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3． 　　(2)存在． 　　由y＝－x2＋2x＋3得，D點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)，對(duì)稱軸為x＝1． 　　①若以CD為底邊，則PD＝PC， 　　設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式， 　　得x2＋(3－y)2＝(x－1)2＋(4－y)2， 　　即y＝4－x． 　　又P點(diǎn)(x，y)在拋物線上， 　　∴4－x＝－x2＋2x＋3， 　　即x2－3x＋1＝0， 　　解得x1＝，x2＝＜1，應(yīng)舍去， 　　∴x＝， 　　∴y＝4－x＝， 　　即點(diǎn)P坐標(biāo)為． 　　②若以CD為一腰， 　　∵點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對(duì)稱性知，點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線x＝1對(duì)稱， 　　此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，3)． 　　∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或(2，3)． 　　(3)由B(3，0)，C(0，3)，D(1，4)，根據(jù)勾股定理， 　　得CB＝，CD＝，BD＝， 　　∴CB2＋CD2＝BD2＝20， 　　∴∠BCD＝90°， 　　設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，過(guò)C作CM⊥DE，交拋物線于點(diǎn)M，垂足為F，在Rt△DCF中， 　　∵CF＝DF＝1， 　　∴∠CDF＝45°， 　　由拋物線對(duì)稱性可知，∠CDM＝2×45°＝90°，點(diǎn)坐標(biāo)M為(2，3)， 　　∴DM∥BC， 　　∴四邊形BCDM為直角梯形， 　　由∠BCD＝90°及題意可知， 　　以BC為一底時(shí)，頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況； 　　以CD為一底或以BD為一底，且頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形均不存在． 　　綜上所述，符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，3)． 　　點(diǎn)評(píng)∶此題是一道典型的“存在性問(wèn)題”，結(jié)合二次函數(shù)圖象和等腰三角形、等腰梯形的性質(zhì)，考查了它們存在的條件，有一定的開(kāi)放性．

提示：

考點(diǎn)∶二次函數(shù)綜合題．