Question

【題目】將紙片△ABC沿AD折疊，使點(diǎn)C剛好落在AB邊上的E處，展開(kāi)如圖1．

[操作觀察]

（1）如圖2，作DF⊥AC，垂足為F，且DF=3，AC=6，S△ABC=21，則AB=　 　；

[理解應(yīng)用]

（2）①如圖3，設(shè)G為AC上一點(diǎn)（與A、C）不重合，P是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PG、PC．試說(shuō)明：PG+PC與EG大小關(guān)系；

②連接EC，若∠BAC=60°，G為AC中點(diǎn)，且AC=6，求EC長(zhǎng)．

[拓展延伸]

（3）請(qǐng)根據(jù)前面的解題經(jīng)驗(yàn)，解決下面問(wèn)題：

如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中有A（1，4），B（3，﹣2），點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，當(dāng)AP﹣BP的值最大時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出P點(diǎn)的位置，并直接寫出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為　 　，AP﹣BP的最大值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）①PG+PC≥EG，理由見(jiàn)解析；②連6；（3）（5，0），2．

【解析】

（1）根據(jù)折疊的特性可知折痕AD為∠BAC的角平分線，由此可得出點(diǎn)D到AB和點(diǎn)D到AC的距離相等，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論；

（2）連接CM、PE、CE，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得出當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，PF+PC值最小，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得出AE=AC，結(jié)合∠BAC=60°即可得出△AEC為等邊三角形，由此即可解決問(wèn)題；

（3）作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′、PB′，延長(zhǎng)AB′交x軸于點(diǎn)P′，根據(jù)三角形內(nèi)兩邊之差小于第三邊找出當(dāng)點(diǎn)P和P′點(diǎn)重合時(shí)，AP﹣BP的值最大，再由點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)B′的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A、B′的坐標(biāo)即可求出直線AB′的解析式，令其y=0求出x即可找出點(diǎn)P′的坐標(biāo)，由此即可得出結(jié)論．

（1）∵將紙片△ABC沿AD折疊，使C點(diǎn)剛好落在AB邊上的E處，∴AD為∠BAC的角平分線，∴點(diǎn)D到AB和點(diǎn)D到AC的距離相等，∴S△ABC=ABDF+ACDF=21，∴AB3+×6×3=21，∴AB=8．

故答案為：8．

（2）①結(jié)論：PG+PC≥EG．理由如下：

連接PE，如圖3所示．

∵將紙片△ABC沿AD折疊，使C點(diǎn)剛好落在AB邊上的E處，∴AD為∠BAC的角平分線，AE=AC，∴PE=PC．在△PEG中，PE+PG≥EG，∴PC+PG≥EG．

②連接EC，如圖3中．

∵AE=AC，∠BAC=60°，∴△AEC為等邊三角形．

又∵AC=6，∴EC=AC=6．

（3）作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′、PB′，延長(zhǎng)AB′交x軸于點(diǎn)P′，如圖4所示．

∵點(diǎn)B和B′關(guān)于x軸對(duì)稱，∴PB=PB′，P′B′=P′B．

∵在△APB′中，AB′＞AP﹣PB′，∴AP′﹣B′P′=AP′﹣BP′=AB′＞AP﹣PB′=AP﹣PB，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P′重合時(shí)，AP﹣BP最大．

設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b．

∵點(diǎn)B（3，﹣2），∴點(diǎn)B′（3，2），AB′===2．

將點(diǎn)A（1，4）、B′（3，2）代入y=kx+b中，得：，解得：，∴直線AB′的解析式為y=﹣x+5．

令y=﹣x+5中y=0，則﹣x+5=0，解得：x=5，∴點(diǎn)P′（5，0）．

故AP﹣BP的最大值為2，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0）．

故答案為：（5，0），2．