Question

【題目】（14分）如圖，拋物線(xiàn)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，請(qǐng)解決下列問(wèn)題．

（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ， ），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ， ）；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0），當(dāng)最大時(shí)，求a的值并在圖中標(biāo)出點(diǎn)P的位置；

（3）在（2）的條件下，將△BCP沿x軸的正方向平移得到△B′C′P′，設(shè)點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′的橫坐標(biāo)為t（其中0＜t＜6），在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中△B′C′P′與△BCD重疊部分的面積為S，求S與t之間的關(guān)系式，并直接寫(xiě)出當(dāng)t為何值時(shí)S最大，最大值為多少？

Answer 1

【答案】（1）C（0，3），D（1，4）；（2）a=﹣3；（3）S=，當(dāng)t=時(shí)，S有最大值．

【解析】試題分析：（1）令x=0，得到C的坐標(biāo)，把拋物線(xiàn)配成頂點(diǎn)式，可得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）延長(zhǎng)CD交x軸于點(diǎn)P．因?yàn)?/span>小于或等于第三邊CD，所以當(dāng)等于CD時(shí)， 的值最大．因此求出過(guò)CD兩點(diǎn)的解析式，求它與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（3）過(guò)C點(diǎn)作CE∥x軸，交DB于點(diǎn)E，求出直線(xiàn)BD的解析式，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，求出P′C′與BC的交點(diǎn)M的坐標(biāo)，分兩種情況討論：①點(diǎn)C′在線(xiàn)段CE上；②點(diǎn)C′在線(xiàn)段CE的延長(zhǎng)線(xiàn)上，再分別求得N點(diǎn)坐標(biāo)，再利用圖形的面積的差，可表示出S，再求得其最大值即可．

試題解析：（1）在中，令x=0，得到y=3，∴C（0，3），∵=，∴D（1，4），故答案為：C（0，3），D（1，4）；

（2）∵在三角形中兩邊之差小于第三邊，∴延長(zhǎng)DC交x軸于點(diǎn)P，設(shè)直線(xiàn)DC的解析式為，把D、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得： ，解得： ，∴直線(xiàn)DC的解析式為，將點(diǎn)P的坐標(biāo)（a，0）代入得a+3=0，求得a=﹣3，如圖1，點(diǎn)P（﹣3，0）即為所求；

（3）過(guò)點(diǎn)C作CE∥x，交直線(xiàn)BD于點(diǎn)E，如圖2，

由（2）得直線(xiàn)DC的解析式為，易求得直線(xiàn)BD的解析式為，直線(xiàn)BC的解析式為，在中，當(dāng)y=3時(shí)，x=，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（，3），設(shè)直線(xiàn)P′C′與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)M，∵P′C′∥DC，P′C′與y軸交于點(diǎn)（0，3﹣t），∴直線(xiàn)P′C′的解析式為，聯(lián)立： ，解得： ，∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（， ），∵B′C′∥BC，B′坐標(biāo)為（3+t，0），∴直線(xiàn)B′C′的解析式為，

分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，如圖2，B′C′與BD交于點(diǎn)N，聯(lián)立：，解得： ，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（3﹣t，2t），S=S△B′C′P﹣S△BMP﹣S△BNB′=×6×3﹣（6﹣t）×（6﹣t）﹣t×2t=，其對(duì)稱(chēng)軸為t=，可知當(dāng)時(shí)，S隨t的增大而增大，當(dāng)t=時(shí)，有最大值；

②當(dāng)時(shí)，如圖3，直線(xiàn)P′C′與DB交于點(diǎn)N，

聯(lián)立： ，解得： ，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（， ），S=S△BNP′﹣S△BMP′=（6﹣t）×﹣×（6﹣t）×==；

顯然當(dāng)＜t＜6時(shí)，S隨t的增大而減小，當(dāng)t=時(shí)，S=

綜上所述，S與t之間的關(guān)系式為S=，且當(dāng)t=時(shí)，S有最大值，最大值為．

∵，∴當(dāng)t=時(shí)，S有最大值．