Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線的另一個點(diǎn)為點(diǎn),點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

求和的值．

點(diǎn)在直線下方的拋物線上任一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)設(shè)求出與的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出的取值范圍．

在問的條件下，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接,若把分 成面積比為的兩個三角形，求出此時的值．

Answer 1

【答案】（1）b=，c=-2；（2）d= -t2-t+4（-4＜t＜2）；（3）或

【解析】

（1）根據(jù)交點(diǎn)式寫出拋物線的表達(dá)式為：y=(x+4)(x-1)，整理即可求解；

（2）用待定系數(shù)法求出直線AE的表達(dá)式為，點(diǎn)P(t，t2+t-2)，則點(diǎn)F(t，t+2)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求解即可；

（3）PF把△PKE分成面積比為11：12的兩個三角形，則ER：KH=12：11，即：(2-t)：(t-xK)=12：11，解得：xK=，則點(diǎn)K(，)，直線PK的表達(dá)式為：y=-2x+，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入上式并化簡得：12t2-31t+14=0，即可求解．

解：（1）拋物線的表達(dá)式為：y=(x+4)(x-1)=x2+x-2，

則b=，c=-2；

（2）點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，而點(diǎn)E在拋物線上，

∴y=2+3-2=3，

∴點(diǎn)E(2，3)，

將A、E的坐標(biāo)代入y=mx+n得：，解得：，

∴直線AE的表達(dá)式為：y=x+2，

設(shè)點(diǎn)P(t，t2+t-2)，點(diǎn)F(t，t+2)，

d=PF=t+2-(t2+t-2)=-t2-t+4.；

∵A(-4，0)，E(2，3)，

∴-4＜t＜2，

∴d= -t2-t+4（-4＜t＜2）；

（3）點(diǎn)P(t，t2+t-2)，分別過點(diǎn)E、K作PF的垂線交于點(diǎn)R、H，

PF把△PKE分成面積比為11：12的兩個三角形，當(dāng)ER：KH=12：11時，

即：(2-t)：(t-xK)=12：11，

解得：xK=，

則yK=×=，

∴點(diǎn)K(，)，

∵PK⊥AE，則直線PK的表達(dá)式可設(shè)為：y=-2x+s，

將點(diǎn)K的坐標(biāo)代入上式得：

=-2×+3，

∴s=，

∴直線PK的表達(dá)式為：y=-2x+，

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入上式得：P(t，t2+t-2)，

t2+t-2=-2t+，

∴12t2-31t+14=0，

解得：t=或2（舍去2）；

PF把△PKE分成面積比為11：12的兩個三角形，當(dāng)ER：KH=11：12時，

同理可得：t=；

綜上，t=或．