Question

1．如圖1，△ABC和△A′B′C′是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，且∠C=∠C′=90°，$AC=BC=2\sqrt{2}$，其中D、E分別為△ABC中AC，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將兩三角形如圖所示放置，A點(diǎn)與B′重合，且A，A′，B，B′在同一條直線上，現(xiàn)將△A′B′C′沿射線AB方向向右勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，直到E點(diǎn)落在B′C′上停止運(yùn)動(dòng)．
（1）試寫(xiě)出在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中△A′B′C′與四邊形DABE重疊部分的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如圖2，若O為△ABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，在（1）的運(yùn)動(dòng)中當(dāng)△A′B′C′平移到C′與C重合時(shí)，讓△ABC保持不動(dòng)將△A′B′C′繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線A′B′與直線AC相交于點(diǎn)K，則是否存在這樣的點(diǎn)K使得△ABK為等腰三角形？若存在，試求出△ABK的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖3，在（2）的前提下，當(dāng)將△A′B′C′繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖，試求出△ABC和△A′B′C′重疊部分的面積是多少？

Answer 1

分析 （1）分兩種情形①如圖1中，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，重疊部分是△AB′G．如圖2中，當(dāng)2＜t≤4時(shí)，重疊部分是等腰梯形ADGB′．分別計(jì)算即可．
（2）存在．分兩種情形討論即可①如圖3中，當(dāng)BA=BK時(shí)，△ABK是等腰直角三角形，②如圖4中，當(dāng)AK=AB時(shí)，△ABK是等腰三角形．
（3）如圖5中，連接O、AO、CO，延長(zhǎng)CO交AB于K．根據(jù)△ABC和△A′B′C′重疊部分的面積=S_△ABC-S_△AEI-S_△CFP-S_△GHB計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖1中，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，重疊部分是△AB′G．

S=$\frac{1}{2}$•AG•GB′=$\frac{1}{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²=$\frac{1}{4}$t²．
如圖2中，當(dāng)2＜t≤4時(shí)，重疊部分是等腰梯形ADGB′．

S=$\frac{1}{2}$[t+（t-$\sqrt{2}$）•1=t-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

（2）存在．①如圖3中，當(dāng)BA=BK時(shí)，△ABK是等腰直角三角形，此時(shí)S=$\frac{1}{2}$×AB×BK=$\frac{1}{2}$×4×4=8．

②如圖4中，當(dāng)AK=AB時(shí)，△ABK是等腰三角形，S=$\frac{1}{2}$AK•BC=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$．


（3）如圖5中，連接O、AO、CO，延長(zhǎng)CO交AB于K．

∵$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$（AC+BC+AB）•OK，
∴OK=OM=KH=$\frac{2\sqrt{2}×2\sqrt{2}}{4+4\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$-2，
∵當(dāng)將△A′B′C′繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°時(shí)，
∴∠AIE=45°，
由題意EO平分∠CEI，
∴∠CEO=∠CAB=45°，
∴EO∥AB，
∴∠EAO=∠OAB=∠EOA，
∴EA=EO=CO，設(shè)AE=EO=CO=a，
則a+$\sqrt{2}$a=2$\sqrt{2}$，
∴a=4-2$\sqrt{2}$，
∴CM=6-4$\sqrt{2}$，BH=2-（2$\sqrt{2}$-2）=4-2$\sqrt{2}$，
∴△ABC和△A′B′C′重疊部分的面積=S_△ABC-S_△AEI-S_△CFP-S_△GHB
=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{2}$•2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$•（4$\sqrt{2}$-4）×（2$\sqrt{2}$-2）-$\frac{1}{2}$•（12-8$\sqrt{2}$）（6-4$\sqrt{2}$）-$\frac{1}{2}$•（4-2$\sqrt{2}$）²
=64$\sqrt{2}$-88．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何變換綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)畫(huà)好圖形，學(xué)會(huì)分類討論，注意解題時(shí)不能漏解，屬于中考常考題型．