Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：交y軸于點(diǎn)A(0，1)，交x軸于點(diǎn)B．直線x=1交AB于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，P是直線x=1上一動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)D的上方，設(shè)P(1，n)．

(1)求直線AB的解析式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求△ABP的面積(用含n的代數(shù)式表示)；

(3)當(dāng)S△ABP=2時(shí)，以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) AB的解析式是y=-x+1．點(diǎn)B（3，0）．(2)n-1；(3) （3，4）或（5，2）或（3，2）．

【解析】

試題（1）把A的坐標(biāo)代入直線AB的解析式，即可求得b的值，然后在解析式中，令y=0，求得x的值，即可求得B的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)A作AM⊥PD，垂足為M，求得AM的長(zhǎng)，即可求得△BPD和△PAB的面積，二者的和即可求得；

（3）當(dāng)S△ABP=2時(shí)，n-1=2，解得n=2，則∠OBP=45°，然后分A、B、P分別是直角頂點(diǎn)求解．

試題解析：（1）∵y=-x+b經(jīng)過A（0，1），

∴b=1，

∴直線AB的解析式是y=-x+1．

當(dāng)y=0時(shí)，0=-x+1，解得x=3，

∴點(diǎn)B（3，0）．

（2）過點(diǎn)A作AM⊥PD，垂足為M，則有AM=1，

∵x=1時(shí)，y=-x+1=，P在點(diǎn)D的上方，

∴PD=n-，S△APD=PDAM=×1×(n-)=n-

由點(diǎn)B（3，0），可知點(diǎn)B到直線x=1的距離為2，即△BDP的邊PD上的高長(zhǎng)為2，

∴S△BPD=PD×2=n-，

∴S△PAB=S△APD+S△BPD=n-+n-=n-1；

（3）當(dāng)S△ABP=2時(shí)，n-1=2，解得n=2，

∴點(diǎn)P（1，2）．

∵E（1，0），

∴PE=BE=2，

∴∠EPB=∠EBP=45°．

第1種情況，如圖1，∠CPB=90°，BP=PC，過點(diǎn)C作CN⊥直線x=1于點(diǎn)N．

∵∠CPB=90°，∠EPB=45°，

∴∠NPC=∠EPB=45°．

又∵∠CNP=∠PEB=90°，BP=PC，

∴△CNP≌△BEP，

∴PN=NC=EB=PE=2，

∴NE=NP+PE=2+2=4，

∴C（3，4）．

第2種情況，如圖2∠PBC=90°，BP=BC，

過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F．

∵∠PBC=90°，∠EBP=45°，

∴∠CBF=∠PBE=45°．

又∵∠CFB=∠PEB=90°，BC=BP，

∴△CBF≌△PBE．

∴BF=CF=PE=EB=2，

∴OF=OB+BF=3+2=5，

∴C（5，2）．

第3種情況，如圖3，∠PCB=90°，CP=EB，

∴∠CPB=∠EBP=45°，

在△PCB和△PEB中，

∴△PCB≌△PEB（SAS），

∴PC=CB=PE=EB=2，

∴C（3，2）．

∴以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（3，4）或（5，2）或（3，2）．